Bài tập 26 trang 136 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1, Cho tam giác ABC cân tại A, gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm D đối xứng với điểm A qua BC....

Cho tam giác ABC cân tại A, gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm D đối xứng với điểm A qua BC.

a) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thoi.

b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh tứ giác AEMF là hình thoi.

a) Tứ giác ABCD có:

AD và BC cắt nhau tại M (gt);

M là trung điểm của BC (gt)

M là trung điểm của AD (D đối xứng với A qua BC)

Do đó tứ giác ABDC là hình bình hành

Mà $AD \bot BC$ (vì D đối xứng với A qua BC)

Nên hình bình hành ABDC là hình thoi.

b) Ta có $AM = {1 \over 2}AB$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Và $AE = {1 \over 2}AB$ (E là trung điểm của AB)

$\Rightarrow EM = EA = {1 \over 2}AB\,\,\left( 1 \right)$

Ta có $MF = {1 \over 2}AC$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Và $AF = {1 \over 2}AC$ (F là trung điểm của AC)

$\Rightarrow MF = AF = {1 \over 2}AC\,\,\left( 2 \right)$

$AB = AC$ ($\Delta ABC$ cân tại A)  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $EM = EA = MF = AF$.

Do đó tứ giác AEMF là hình thoi.