Luyện tập 1 trang 138 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1, Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E, F thuộc đường chéo AC sao cho AE = EF = FC. Gọi M là giao điểm của BF và CD; N là giao điểm...

Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E, F thuộc đường chéo AC sao cho $AE = EF = FC.$ Gọi M là giao điểm của BF và CD; N là giao điểm của DE và AB. CHứng minh rằng:

a) M, N theo thứ tự là trung điểm của CD và AB.

b) Tứ giác EMFN là hình bình hành.

a) Gọi I là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD

$\Rightarrow I$ là trung điểm của AC và BD $\Rightarrow IA = IC$

$\Rightarrow IA - AE = IC - FC$  (vì $AE = FC$)

$\Rightarrow EI = FI \Rightarrow I$ là trung điểm của EF.

Tứ giác DEBF có DB và EF cắt nhau tại I (I là tâm đối xứng, $E,F \in AC$)

I là trung điểm của BD và I là trung điểm của EF.

Do đó tứ giác DEBF là hình bình hành

$\Rightarrow DE//BF \Rightarrow EN//BF\,\,\left( {N \in DE} \right)$

Mà E là trung điểm của AF $\left( {AE = EF} \right)$ nên N là trung điểm của AB.

$\Delta DEC$ có $MF//DE\,\,\left( {DE//BF,\,\,M \in BF} \right)$ và F là trung điểm của EC $\left( {EF = FC} \right)$

$\Rightarrow M$ là trung điểm của CD.

b) Ta có

$AN = {{AB} \over 2}$  (N là trung điểm của AB)

$MC = {{CD} \over 2}$ (M là trung điểm của CD)

$AB = CD$ (ABCD là hình bình hành)

$\Rightarrow AN = MC$

Xét tam giác AEN và tam giác MFC ta có :

$\eqalign{  & AE = FC\,\,\left( {gt} \right)  \cr  & AN = MC \cr}$

$\widehat {NAE} = \widehat {FCM}$ (hai góc so le trong và AB // CD)

Do đó $\Delta AEN = \Delta CFM\,\,\left( {c.g.c} \right)$

Tứ giác EMFN có EN // MF $\left( {DE//BF,\,\,N \in DF,\,\,M \in BF} \right)$

Và $EN = MF\,\,\left( {\Delta AEN = \Delta CFM} \right)$. Do đó tứ giác EMFN là hình bình hành.