Bài tập 30 trang 137 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1, Ở hình 70, cho biết ABCD là một hình vuông. Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt trên AB, BC, CD, DA sao cho MB = NC = PD = QA. Chứng minh...

Ở hình 70, cho biết ABCD là một hình vuông. Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt trên AB, BC, CD, DA sao cho $MB = NC = PD = QA.$ Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.

Ta có:

$AB = BC = CD = AD$ (ABCD là hình vuông)

$\eqalign{  & MB = NC = DP = AQ\,\,\left( {gt} \right)  \cr  &  \Rightarrow AM = BN = CP = DQ \cr}$

Xét $\Delta MBN$ và $\Delta NPC$ có :

$MB = NC\,\,\left( {gt} \right)$

$BN = PC\,\,\left( {cmt} \right)$

$\widehat {MBN} = \widehat {NCP}\,\,\left( { = {{90}^0}} \right)$

$\Rightarrow \Delta MBN = \Delta NCP\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow MN = NP$ và $\widehat {MNB} = \widehat {NPC}$

Chứng minh tương tự ta có : $\Delta QAM = \Delta PDQ;\,\,\Delta MBN = \Delta QAM$

$\Rightarrow QM = PQ,\,\,MN = QM \Rightarrow MN = NP = QM = PQ$.

Do đó tứ giác MNPQ là hình thoi.

Mặt khác $\widehat {MNB} + \widehat {CNP} = \widehat {NPC} + \widehat {CNP} = {90^0} \Rightarrow \widehat {MNP} = {90^0}$

Hình thoi MNPQ có $\widehat {MNP} = {90^0}$ nên là hình vuông.