Bài tập 4 trang 173 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1,Chứng minh rằng nếu một tam giác đều có cạnh bằng a thì diện tích bằng...

a) Chứng minh rằng nếu một tam giác đều có cạnh bằng a thì diện tích bằng ${{{a^3}\sqrt 3 } \over 4}$ .

b) Tính diện tích của lục giác đều có cạnh bằng a.

a) Kẻ AH là đường cao của tam giác ABC

$\Delta ABC$ đều $\Rightarrow AH$ là đường trung tuyến

$\Rightarrow H$ là trung điểm của BC $\Rightarrow BH = {{BC} \over 2} = {a \over 2}$

$\Delta ABH$ vuông tại H có $A{H^2} + B{H^2} = A{B^2}$ (định lí Pytago)

$\Rightarrow A{H^2} + {{{a^2}} \over 4} = {a^2} \Rightarrow A{H^2} = {{3{a^2}} \over 4} \Rightarrow AH = {{a\sqrt 3 } \over 2}$

${S_{ABC}} = {1 \over 2}AH.BC = {1 \over 2}.{{a\sqrt 3 } \over 2}.a = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}$

b)

Gọi O là tâm của lục giác đều

Ta có : ${S_{ABCDEF}} = {S_{OAB}} + {S_{OBC}} + {S_{OCD}} + {S_{ODE}} + {S_{OEF}} + {S_{OAF}}$

${S_{OAB}} = {S_{OBC}} = {S_{OCD}} = {S_{ODE}} = {S_{OEF}} = {S_{OAF}}$

(vì $\Delta OAB = \Delta OBC = \Delta OCD = \Delta ODE = \Delta OEF = \Delta OAF$)

$\Rightarrow {S_{ABCDEF}} = 6{S_{OAB}}$

Mà $\Delta OAB$ đều có cạnh bằng a, nên ta có ${S_{OAB}} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}$

Do đó ${S_{ABCDEF}} = 6.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4} = {{3{a^2}\sqrt 3 } \over 2}$.