Bài tập 5 trang 124 Dạy & học Toán 8 tập 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 6 cm, AD = 8 cm và AA’ = 12 cm....

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 6 cm, AD = 8 cm và AA’ = 12 cm.

a) Chứng minh các tứ giác AA’C’C, BB’D’D là những hình chữ nhật.

b) Chứng minh rằng:

AC’² = AB² + AD² + AA’²

Tính độ dài đoạn AC’.

c) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật.

a) Ta có: $AA’ \bot (A’B’C’D’) \Rightarrow AA’ \bot A’C’$

$\Rightarrow \widehat {AA’C’} = 90^\circ$

$\eqalign{  & AA’ \bot (ABCD) \Rightarrow AA’ \bot AC\cr& \Rightarrow \widehat {A’AC} = 90^\circ   \cr  & (A’B’C’D’) \bot (CC’D’D) \cr&\Rightarrow CC’ \bot A’C’ \Rightarrow \widehat {CC’A’} = 90^\circ  \cr}$

Tứ giác AA’C’C có:

$\widehat {AA’C} = 90^\circ ,\widehat {A’AC} = 90^\circ ,$$\,\widehat {CC’A’} = 90^\circ$

=> AA’C’C là hình chữ nhật

$\eqalign{  & BB’ \bot (A’B’C’D’) \Rightarrow BB’ \bot B’D’ \cr&\Rightarrow \widehat {BB’D’} = 90^\circ   \cr  & D{\rm{D’}} \bot {\rm{(A’B’C’D’)}} \Rightarrow {\rm{DD’}} \bot {\rm{B’D’}}\cr& \Rightarrow \widehat {DD’B’} = 90^\circ   \cr  & BB’ \bot (ABCD) \Rightarrow BB’ \bot BD\cr& \Rightarrow \widehat {B’BD} = 90^\circ  \cr}$

Tứ giác BB’D’D có:

$\widehat {BB’D’} = 90^\circ ,\widehat {DD’B’} = 90^\circ ,$ $\widehat {B’BD} = 90^\circ$

=> Tứ giác BB’D’D là hình chữ nhật

b) ∆ABD vuông tại A có $A{B^2} + A{D^2} = B{D^2}$ (định lý Py-ta-go)

$\Rightarrow A{B^2} + A{D^2} + AA{‘^2} = B{D^2} + AA{‘^2}$

Mà AA’ = CC’ (AA’C’C là hình chữ nhật)

Và BD = AC (ABCD là hình chữ nhật)

$\Rightarrow A{B^2} + A{D^2} + AA{‘^2} = A{C^2} + CC{‘^2}$

Lại có $A{C^2} + CC{‘^2} = AC{‘^2}$ (định lí Py-ta-go trong tam giác ACC’ vuông tại C)

Do đó $A{B^2} + A{D^2} + AA{‘^2} = AC{‘^2}$

$AC{‘^2} = {6^2} + {8^2} + {12^2} = 244$

$\Rightarrow AC’ = 2\sqrt {61} (cm)$

c) Thế tích của hình hộp chữ nhật: $V = AB.AD.AA’ = 6.8.12$$\,= 576(c{m^3})$

Diện tích một mặt đáy của hình hộp chữ nhật: ${S_d} = 6.8 = 48(c{m^2})$

Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật:

${S_{xq}} = 2p.h = 2(AB + AD).AA’$$\, = 2(6 + 8).12$$\,= 336(c{m^2})$

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật:

${S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d}.2 = 336 + 48.2$$\,= 432(c{m^2})$