Bài 31 trang 23 sgk Toán 8 tập 2, Giải các phương trình:...

Giải các phương trình:

a) ${1 \over {x - 1}} - {{3{x^2}} \over {{x^3} - 1}} = {{2x} \over {{x^2} + x + 1}}$

b) ${3 \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} + {2 \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} = {1 \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}$

c) $1 + {1 \over {x + 2}} = {{12} \over {8 + {x^3}}}$

d) ${{13} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + {1 \over {2x + 7}} = {6 \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$

a) ${1 \over {x - 1}} - {{3{x^2}} \over {{x^3} - 1}} = {{2x} \over {{x^2} + x + 1}}$

Ta có: ${x^3} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)$

$= \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x + {1 \over 2}} \right)}^2} + {3 \over 4}} \right]$ cho nên x³ – 1 ≠ 0 khi x – 1 ≠ 0⇔ x ≠ 1

Vậy ĐKXĐ:  x ≠ 1

Khử mẫu ta được:

${x^2} + x + 1 - 3{x^2} = 2x\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow  - 2{x^2} + x + 1 = 2{x^2} - 2x$

$\Leftrightarrow 4{x^2} - 3x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 4x\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {4x + 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 1} \cr {x = - {1 \over 4}} \cr} }\right.$

x = 1 không thỏa ĐKXĐ.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x =  - {1 \over 4}$

b) ${3 \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} + {2 \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} = {1 \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}$

ĐKXĐ: x ≠ 1, x ≠ 2, x ≠ 3

Khử mẫu ta được:

$3\left( {x - 3} \right) + 2\left( {x - 2} \right) = x - 1 \Leftrightarrow 3x - 9 + 2x - 4 = x - 1$

$\Leftrightarrow 5x - 13 = x - 1$

⇔ 4x = 12

⇔ x = 3

x = 3 không thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình vô nghiệm.

c) $1 + {1 \over {x + 2}} = {{12} \over {8 + {x^3}}}$

Ta có: $8 + {x^3} = \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)$

$= \left( {x + 2} \right)\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 3} \right]$

Do đó:  8 + x² ≠ 0 khi x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ -2

Suy ra ĐKXĐ: x ≠ -2

Khử mẫu ta được:

${x^3} + 8 + {x^2} - 2x + 4 = 12 \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0$

$\Leftrightarrow x\left( {{x^2} + x - 2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow x\left[ {{x^2} + 2x - x - 2} \right] = 0$

⇔ x(x + 2)(x – 1) = 0

⇔ x(x -1) = 0

⇔x = 0 hay x = 1

x = 0, x = 1 thỏa ĐKXĐ của phương trình.

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {0;1}.

d) ${{13} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + {1 \over {2x + 7}} = {6 \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$

ĐKXĐ: $x \ne 3,x \ne  - 3,x \ne  - {7 \over 2}$

Khử mẫu ta được:

$13\left( {x + 3} \right) + \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 6\left( {2x + 7} \right) \Leftrightarrow 13x + 39 + {x^2} - 9 = 12x + 42$

$\Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} + 4x - 3x - 12 = 0$

$\Leftrightarrow x\left( {x + 4} \right) - 3\left( {x + 4} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right) = 0$

⇔ x =3 hoặc x = -4

x = 3 không thỏa ĐKXĐ.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -4