Advertisements (Quảng cáo)
Chứng minh rằng:
\({{{a^2}} \over {a + b}} + {{{b^2}} \over {b + c}} + {{{c^2}} \over {c + a}} = {{{b^2}} \over {a + b}} + {{{c^2}} \over {b + c}} + {{{a^2}} \over {c + a}}\)
Hướng dẫn làm bài:
Cách 1: Thực hiện phép cộng riêng từng vế:
VT: \(={{{a^2}} \over {a + b}} + {{{b^2}} \over {b + c}}{{{a^2}\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) + {b^2}\left( {a + b} \right)\left( {c + a} \right) + {c^2}\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)} \over {\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} + {{{c^2}} \over {c + a}}\)
\(={{{b^2}} \over {a + b}} + {{{c^2}} \over {b + c}} + {{{a^2}} \over {c + a}}\)
Tử bằng:
\(={a^2}\left( {bc + ab + {c^2} + ac} \right) + {b^2}\left( {ac + {a^2} + bc + ab} \right) + {a^2}\left( {ab + ac + {b^2} + bc} \right)\)
\(={a^2}bc + {a^3}b + {a^2}{c^2} + {a^3}c + a{b^2}c + {a^2}{b^2} + {b^3}c + a{b^3} + ab{c^3} + a{c^3} + {b^2}{c^2} + b{c^3}\)
\(={a^3}\left( {b + c} \right) + {a^2}\left( {bc + {b^2} + {c^2}} \right) + a\left( {{b^3} + {c^3} + {b^2}c + b{c^2}} \right) + bc\left( {bc + {b^2} + {c^2}} \right)\left( 1 \right)\) (1)
VP: \(={a^3}\left( {b + c} \right) + {a^2}\left( {bc + {b^2} + {c^2}} \right) + a\left( {{b^3} + {c^3} + {b^2}c + b{c^2}} \right){{{b^2}\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) + {c^2}\left( {a + b} \right)\left( {c + a} \right) + {a^2}\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)} \over {\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} + bc\left( {bc + {b^2} + {c^2}} \right)\left( 1 \right)\)
\(={b^2}\left( {bc + ab + {c^2} + ac} \right) + {c^2}\left( {ac + {a^2} + bc + ab} \right) + {a^2}\left( {ab + ac + {b^2} + bc} \right)\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(={b^3}c + a{b^3} + {b^2}{c^2} + a{b^2}c + a{c^3} + {a^2}{c^2} + b{c^3} + ab{c^2} + {a^3}b + {a^3}c + {a^2}{b^2} + {a^2}bc\)
\(={a^3}\left( {b + c} \right) + {a^2}\left( {bc + {b^2} + {c^2}} \right) + a\left( {{b^3} + {c^3} + {b^2}c + b{c^2}} \right) + bc\left( {bc + {b^2} + {c^2}} \right)\) (2)
So sánh (1) và (2) ta suy ra vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.
Cách 2: Xét hiệu hai vế
\({a^3}\left( {b + c} \right) + {a^2}\left( {bc + {b^2} + {c^2}} \right) + a\left( {{b^3} + {c^3} + {b^2}c + b{c^2}} \right) + bc\left( {bc + {b^2} + {c^2}} \right){{{a^2}} \over {a + b}} – {{{b^2}} \over {a + b}} + {{{b^2}} \over {b + c}} – {{{c^2}} \over {b + c}} + {{{c^2}} \over {c + a}} – {{{a^2}} \over {c + a}}\)
\(={{\left( {a + b} \right)\left( {a – b} \right)} \over {a + b}} – {{\left( {b + c} \right)\left( {b – c} \right)} \over {b + c}} + {{\left( {c + a} \right)\left( {c – a} \right)} \over {c + a}}\)
\(=a – b + b – c + c – a = 0\)
Vậy \({{{a^2}} \over {a + b}} + {{{b^2}} \over {b + c}} + {{{c^2}} \over {c + a}} = {{{b^2}} \over {a + b}} + {{{c^2}} \over {b + c}} + {{{a^2}} \over {c + a}}\)
Nhận xét: Cách 2 nhanh gọn hơn cách 1.