b)Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x.
. Bài 60 trang 62 sgk toán 8 tập 1 - Ôn tập chương II- Phân thức đại số
Cho biểu thức \(\left( {{{x + 1} \over {2x - 2}} + {3 \over {{x^2} - 1}} - {{x + 3} \over {2x + 2}}} \right).{{4{x^2} - 4} \over 5}\).
a) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định.
b) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x.
Hướng dẫn làm bài:
a) \(2x - 2 = 2\left( {x - 1} \right) \ne 0\) khi \(x - 1 \ne 0\) hay \(x \ne 1\)
\({x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0\) khi \(x - 1 \ne 0\) và \( x + 1 \ne 0\)
hay \(x \ne 1\) và \( x \ne - 1\)
\(2x + 2 = 2\left( {x + 1} \right) \ne 0\) khi \(x + 1 \ne 0\) hay \(x \ne - 1\)
Do đó điều kiện để giá trị của biểu thức được xác định là \(x \ne - 1,x \ne 1\)
b) Để chứng minh biểu thức không phục thuộc vào biến x ta phải chứng tỏ rằng có thể biến đổi biểu thức này thành một hằng số.
Thật vậy:\(\left( {{{x + 1} \over {2x - 2}} + {3 \over {{x^2} - 1}} - {{x + 3} \over {2x + 2}}} \right).{{4{x^2} - 4} \over 5}\)
=\(\left[ {{{x + 1} \over {2\left( {x - 1} \right)}} + {3 \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - {{x + 3} \over {2\left( {x + 1} \right)}}} \right].{{4{x^2} - 4} \over 5}\)
=\({{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 6 - \left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.{{4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over 5}\)
=\({{{x^2} + 2x + 1 + 6 - {x^2} - 2x + 3} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.{{4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over 5}\)
=\({{10} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.{{4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over 5}\)
=\({{10.4.\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).5}} = {{10.2} \over 5} = 4\)