Viết mỗi phân thức sau dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với tử thức là một hằng số, rồi tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của phân thức cũng là số nguyên:
a) \({{3{x^2} - 4x - 17} \over {x + 2}}\) ;
b) \({{{x^2} - x + 2} \over {x - 3}}\)
Hướng dẫn làm bài:
a)Ta có:
\({{3{x^2} - 4x - 17} \over {x + 2}} = 3x - 10 + {3 \over {x + 2}}\)
Để phân thức là số nguyên thì \({3 \over {x + 2}}\) phải là số nguyên (với giá trị nguyên của x).
\({3 \over {x + 2}}\) nguyên thì x +2 phải là ước của 3.
Các ước của 3 là \( \pm 1, \pm 3\) . Do đó
\(x + 2 = \pm 1 = > x = - 1,x = - 3\)
\(x + 2 = \pm 3 = > x = 1,x = - 5\)
Vậy \(x = - 5; - 3; - 1;1.\)
Cách khác:
\({{3{x^2} - 4x - 17} \over {x + 2}} = {{\left( {3{x^2} + 6x} \right) - \left( {10x + 20} \right) + 3} \over {x + 2}}\)
=\({{3x\left( {x + 2} \right) - 10\left( {x + 2} \right) + 3} \over {x + 2}}\)
=\(3x - 10 + {3 \over {x + 2}}\)
Rồi tiếp tục như trên ta được kết quả.
b)Ta có:\({{{x^2} - x + 2} \over {x - 3}} = x + 2 + {8 \over {x - 3}}$\)
Để \({{{x^2} - x + 2} \over {x - 3}}\) là nguyên thì \({8 \over {x - 3}}\) phải nguyên. Suy ra x – 3 là ước của 8.
Các ước của 8 là \( \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8\)
Do đó \(x - 3 = \pm 1 = > x = 4;2\)
\(x - 3 = \pm 2 = > x = 5;1\)
\(x - 3 = \pm 4 = > x = 7; - 1\)
Vậy \(x = - 5; - 1;1;2;4;5;7;11\).