Câu 10. Trang 104 SBT Toán 9 Tập 1: Cho một tam giác vuông. Biết tỷ số hai cạnh góc vuông là 3 4...

Cho một tam giác vuông. Biết tỷ số hai cạnh góc vuông là 3 : 4 và cạnh huyền là 125cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền. 

Giả sử tam giác ABC có $\widehat {BAC} = {90^0 },AH \bot BC,BC = 125cm,{{AB} \over {AC}} = {3 \over 4}$

Từ ${{AB} \over {AC}} = {3 \over 4}$ suy ra: ${{AB} \over 3} = {{AC} \over 4} \Rightarrow {{A{B^2}} \over 9} = {{A{C^2}} \over {16}}$

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau,ta có:  

${{A{B^2}} \over 9} = {{A{C^2}} \over {16}} = {{A{B^2} + A{C^2}} \over {9 + 16}} = {{A{B^2} + A{C^2}} \over {25}}$          (1)

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

$\eqalign{ & B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \cr & \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = {125^2} = 15625 \cr}$            (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ${{A{B^2}} \over 9} = {{A{C^2}} \over {16}} = {{15625} \over {25}} = 625$              (3)

Từ (3) suy ra :

$A{B^2} = 9.625 = 5625 \Rightarrow AB = \sqrt {5625}  = 75(cm)$

$A{C^2} = 16.625 = 10000 \Rightarrow AB = \sqrt {10000}  = 100(cm)$ 

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

$A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = {{A{B^2}} \over {BC}} = {{{{75}^2}} \over {125}} = 45(cm)$

$CH = BC - BH = 125 - 45 = 80(cm)$