Advertisements (Quảng cáo)
Với những giá trị nào của x thì giá trị của hai biểu thức bằng nhau:
a) \({x^2} + 2 + 2\sqrt 2 \) và \(2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x\)
b) \(\sqrt 3 {x^2} + 2x – 1\) và \(2\sqrt 3 x + 3\)
c) \( – 2\sqrt 2 x – 1\) và \(\sqrt 2 {x^2} + 2x + 3\)
d) \({x^2} – 2\sqrt 3 x – \sqrt 3 \) và \(2{x^2} + 2x + \sqrt 3 \)
e) \(\sqrt 3 {x^2} + 2\sqrt 5 x – 3\sqrt 3 \) và \( – {x^2} – 2\sqrt 3 x + 2\sqrt 5 + 1\)?
a)
\(\eqalign{
& {x^2} + 2 + 2\sqrt 2 = 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + 2 + 2\sqrt 2 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left[ { – \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \right]^2} – 1.\left( {2 + 2\sqrt 2 } \right) \cr
& = 1 + 2\sqrt 2 + 2 – 2 – 2\sqrt 2 = 1 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt 1 = 1 \cr
& {x_1} = {{1 + \sqrt 2 + 1} \over 1} = 2 + \sqrt 2 \cr
& {x_2} = {{1 + \sqrt 2 – 1} \over 1} = \sqrt 2 \cr} \)
Vậy với \(x = 2 + \sqrt 2 \) hoặc \(x = \sqrt 2 \) thì hai biểu thức bằng nhau.
b)
\(\eqalign{
& \sqrt 3 {x^2} + 2x – 1 = 2\sqrt 3 x + 3 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 3 {x^2} + \left( {2 – 2\sqrt 3 } \right)x – 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 3 {x^2} + 2\left( {1 – \sqrt 3 } \right)x – 4 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( {1 – \sqrt 3 } \right)^2} – \sqrt 3 \left( { – 4} \right) \cr
& = 1 – 2\sqrt 3 + 3 + 4\sqrt 3 \cr
& = 1 + 2\sqrt 3 + 3 = {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^2} > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2}} = 1 + \sqrt 3 \cr
& {x_1} = {{\sqrt 3 – 1 + 1 + \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = 2 \cr
& {x_2} = {{\sqrt 3 – 1 – 1 – \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = {{ – 2} \over {\sqrt 3 }} = {{ – 2\sqrt 3 } \over 3} \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy với x = 2 hoặc \(x = {{ – 2\sqrt 3 } \over 3}\) thì hai biểu thức đó bằng nhau.
c)
\(\eqalign{
& – 2\sqrt 2 x – 1 = \sqrt 2 {x^2} + 2x + 3 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 2 {x^2} + \left( {2 + 2\sqrt 2 } \right)x + 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 2 {x^2} + 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + 4 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2} – \sqrt 2 .4 \cr
& = 1 + 2\sqrt 2 + 2 – 4\sqrt 2 \cr
& = 1 – 2\sqrt 2 + 2 = {\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^2} > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 – 1 \cr
& {x_1} = {{ – 1 – \sqrt 2 + \sqrt 2 – 1} \over {\sqrt 2 }} = {{ – 2} \over {\sqrt 2 }} = – \sqrt 2 \cr
& {x_2} = {{ – 1 – \sqrt 2 – \sqrt 2 + 1} \over {\sqrt 2 }} = {{ – 2\sqrt 2 } \over {\sqrt 2 }} = – 2 \cr} \)
Vậy với \(x = – \sqrt 2 \) hoặc \(x = – 2\) thì hai biểu thức bằng nhau.
d)
\(\eqalign{
& {x^2} – 2\sqrt 3 x – \sqrt 3 = 2{x^2} + 2x + \sqrt 3 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + \left( {2 + 2\sqrt 3 } \right)x + 2\sqrt 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x + 2\sqrt 3 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^2} – 1.2\sqrt 3 \cr
& = 1 + 2\sqrt 3 + 3 – 2\sqrt 3 = 4 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt 4 = 2 \cr
& {x_1} = {{ – 1 – \sqrt 3 + 2} \over 1} = 1 – \sqrt 3 \cr
& {x_2} = {{ – 1 – \sqrt 3 – 2} \over 1} = – 3 – \sqrt 3 \cr} \)
Vậy với \(x = 1 – \sqrt 3 \) hoặc \(x = – 3 – \sqrt 3 \) thì hai biểu thức bằng nhau.
e)
\(\eqalign{
& \sqrt 3 {x^2} + 2\sqrt 5 x – 3\sqrt 3 = – {x^2} – 2\sqrt 3 x + 2\sqrt 5 + 1 \cr
& \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3 + 1} \right){x^2} + \left( {2\sqrt 5 + 2\sqrt 3 } \right)x – 3\sqrt 3 – 2\sqrt 5 – 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3 + 1} \right){x^2} + 2\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)x – 3\sqrt 3 – 2\sqrt 5 – 1 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)^2} – \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left( { – 3\sqrt 3 – 2\sqrt 5 – 1} \right) \cr
& = 5 + 2\sqrt {15} + 3 + 9 + 2\sqrt {15} + \sqrt 3 + 3\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 1 \cr
& = 18 + 4\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 4\sqrt {15} \cr
& = 1 + 12 + 5 + 2.2\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 2.2\sqrt 3 .\sqrt 5 \cr
& = 1 + {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} + 2.1.2\sqrt 3 + 2.1.\sqrt 5 + 2.2\sqrt 3 .\sqrt 5 \cr
& = {\left( {1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)^2} > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {{{\left( {1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)}^2}} = 1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 \cr
& {x_1} = {{ – \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right) + 1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} = {{1 + \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 + 1}} = 1 \cr
& {x_2} = {{ – \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right) – 1 – 2\sqrt 3 – \sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} = {{ – 1 – 3\sqrt 3 – 2\sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} \cr
& = 4 – \sqrt 3 – \sqrt 5 – \sqrt {15} \cr} \)