Câu 5.1, 5.2, 5.3 trang 56 SBT Toán 9 tập 2: Tìm mối liên hệ giữa a, b, c để phương trình có...

Câu 5.1 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ có ∆’ = 0. Điều nào sau đây là đúng?

A) ${x_1} = {x_2} = {b \over {2a}}$

B) ${x_1} = {x_2} =  - {{b’} \over a}$

C) ${x_1} = {x_2} =  - {b \over a}$

D) ${x_1} = {x_2} =  - {{b’} \over {2a}}$

Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ có ∆’ = 0

Chọn B: ${x_1} = {x_2} =  - {{b’} \over a}$

Câu 5.2 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Tìm mối liên hệ giữa a, b, c để phương trình $\left( {{b^2} + {c^2}} \right){x^2} - 2acx + {a^2} - {b^2} = 0$ có nghiệm.

Phương trình $\left( {{b^2} + {c^2}} \right){x^2} - 2acx + {a^2} - {b^2} = 0$ có nghiệm khi và chỉ khi ${b^2} + {c^2} \ne 0$ và $\Delta ‘ \ge 0$

${b^2} + {c^2} \ne 0$ suy ra b và c không đồng thời bằng 0.

$\eqalign{ & \Delta ‘ = {\left( { - ac} \right)^2} - \left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2} - {b^2}} \right) \cr & = {a^2}{c^2} - {a^2}{b^2} + {b^4} - {a^2}{c^2} + {b^2}{c^2} \cr & = - {a^2}{b^2} + {b^4} + {c^2}{b^2} \cr & = {b^2}\left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \cr & \Delta ‘ \ge 0 \Rightarrow {b^2}\left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 0 \cr}$)

Vì ${b^2} \ge 0 \Rightarrow  - {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 0 \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} \ge {a^2}$

Vậy với ${a^2} \le {b^2} + {c^2}$ thì phương trình đã cho có nghiệm.

Câu 5.3 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Chứng tỏ rằng phương trình $\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) + \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0$ luôn có nghiệm.

$\eqalign{ & \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) + \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - bx - ax + ab + {x^2} - cx - bx + bc + {x^2} - ax - cx + ac = 0 \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} - 2\left( {a + b + c} \right)x + ab + bc + ac = 0 \cr & \Delta ‘ = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 3\left( {ab + bc + ac} \right) \cr & = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc - 3ab - 3ac - 3bc \cr & = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ac \cr & = {1 \over 2}\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac - 2bc} \right) \cr & = {1 \over 2}\left[ {\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right)} \right] \cr & = {1 \over 2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2}} \right] \cr}$

Ta có: ${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0;{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0$

Suy ra: ${\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} \ge 0$

$\Rightarrow \Delta ‘ = {1 \over 2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2}} \right] \ge 0$

Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm.