Advertisements (Quảng cáo)
Câu 5.1 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có ∆’ = 0. Điều nào sau đây là đúng?
A) \({x_1} = {x_2} = {b \over {2a}}\)
B) \({x_1} = {x_2} = – {{b’} \over a}\)
C) \({x_1} = {x_2} = – {b \over a}\)
D) \({x_1} = {x_2} = – {{b’} \over {2a}}\)
Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có ∆’ = 0
Chọn B: \({x_1} = {x_2} = – {{b’} \over a}\)
Câu 5.2 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Tìm mối liên hệ giữa a, b, c để phương trình \(\left( {{b^2} + {c^2}} \right){x^2} – 2acx + {a^2} – {b^2} = 0\) có nghiệm.
Phương trình \(\left( {{b^2} + {c^2}} \right){x^2} – 2acx + {a^2} – {b^2} = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \({b^2} + {c^2} \ne 0\) và \(\Delta ‘ \ge 0\)
\({b^2} + {c^2} \ne 0\) suy ra b và c không đồng thời bằng 0.
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{
& \Delta ‘ = {\left( { – ac} \right)^2} – \left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2} – {b^2}} \right) \cr
& = {a^2}{c^2} – {a^2}{b^2} + {b^4} – {a^2}{c^2} + {b^2}{c^2} \cr
& = – {a^2}{b^2} + {b^4} + {c^2}{b^2} \cr
& = {b^2}\left( { – {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \cr
& \Delta ‘ \ge 0 \Rightarrow {b^2}\left( { – {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 0 \cr} \))
Vì \({b^2} \ge 0 \Rightarrow – {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 0 \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} \ge {a^2}\)
Vậy với \({a^2} \le {b^2} + {c^2}\) thì phương trình đã cho có nghiệm.
Câu 5.3 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Chứng tỏ rằng phương trình \(\left( {x – a} \right)\left( {x – b} \right) + \left( {x – b} \right)\left( {x – c} \right) + \left( {x – c} \right)\left( {x – a} \right) = 0\) luôn có nghiệm.
\(\eqalign{
& \left( {x – a} \right)\left( {x – b} \right) + \left( {x – b} \right)\left( {x – c} \right) + \left( {x – c} \right)\left( {x – a} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – bx – ax + ab + {x^2} – cx – bx + bc + {x^2} – ax – cx + ac = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3{x^2} – 2\left( {a + b + c} \right)x + ab + bc + ac = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( {a + b + c} \right)^2} – 3\left( {ab + bc + ac} \right) \cr
& = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc – 3ab – 3ac – 3bc \cr
& = {a^2} + {b^2} + {c^2} – ab – bc – ac \cr
& = {1 \over 2}\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} – 2ab – 2ac – 2bc} \right) \cr
& = {1 \over 2}\left[ {\left( {{a^2} – 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} – 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} – 2ac + {c^2}} \right)} \right] \cr
& = {1 \over 2}\left[ {{{\left( {a – b} \right)}^2} + {{\left( {b – c} \right)}^2} + {{\left( {a – c} \right)}^2}} \right] \cr} \)
Ta có: \({\left( {a – b} \right)^2} \ge 0;{\left( {b – c} \right)^2} \ge 0;{\left( {a – c} \right)^2} \ge 0\)
Suy ra: \({\left( {a – b} \right)^2} + {\left( {b – c} \right)^2} + {\left( {a – c} \right)^2} \ge 0\)
\( \Rightarrow \Delta ‘ = {1 \over 2}\left[ {{{\left( {a – b} \right)}^2} + {{\left( {b – c} \right)}^2} + {{\left( {a – c} \right)}^2}} \right] \ge 0\)
Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm.