Bài 11 trang 146 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1: Cho đường tròn (O ; 5 cm). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho...

Cho đường tròn (O ; 5 cm). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho $MA \bot MB$ tại M.

a) Tính MA và MB.

b) Qua giao điểm I của đoạn MO và đường tròn (O), vẽ một tiếp tuyến với (O) cắt OA, OB tại C và D. Tính CD.

a) Chứng minh tứ giác OAMB là hình vuông.

b) Chứng minh tam giác OCD cân tại O, suy ra I là trung điểm của CD. Sử dụng các giá trị lượng giác trong tam giác vuông tính IC, từ đó tính CD.

a) Ta có MA, MB là tiếp tuyến của $\left( O \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AM \bot OA \Rightarrow \angle OAM = {90^0}\\BM \bot OB \Rightarrow \angle OBM = {90^0}\end{array} \right.$

Xét tứ giác $OAMB$ có $\angle OAM = \angle OBM = \angle AMB = {90^0}$

$\Rightarrow$ Tứ giác $OAMB$ là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông). Lại có $OA = OB = R \Rightarrow OAMB$ là hình vuông (Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau).

$\Rightarrow MA = MB = OA = OB = 5$ (cm).

b) Do $OAMB$ là hình vuông (cmt) nên $OI$ là phân giác của $\angle AOB$.

Xét $\Delta OCD$ có $OI$ là phân giác đồng thời là đường cao $\Rightarrow \Delta OCD$ cân tại O.

$\Rightarrow$ Đường cao OI đồng thời là đường trung tuyến $\Rightarrow I$ là trung điểm của $CD \Rightarrow CD = 2IC$.

Ta có $\angle COI = \dfrac{1}{2}\angle COD = \dfrac{1}{2}{.90^0} = {45^0}$

Xét tam giác vuông OCI có: $IC = OI.\tan {45^0} = 5\,\,\left( {cm} \right)$.

$\Rightarrow CD = 2IC = 2.5 = 10\,\,\left( {cm} \right)$.

 Baitapsgk.com