Advertisements (Quảng cáo)
Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn. Chứng minh hai đường tròn nội tiếp hai tam giác ABC và ACD tiếp xúc nhau.
Gọi M, N lần lượt là tiếp điểm của hai đường tròn nội tiếp hai tam giác ABC và ACD với AC.
Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau chứng minh
\(\begin{array}{l}2CM = CM + CJ = AC + BC – AB\\2CN = CN + CP = AC + CD – AD\end{array}\)
Xét hiệu \(2\left( {CM – CN} \right)\), chứng minh \(2\left( {CM – CN} \right) = 0 \Rightarrow M \equiv N\).
Gọi E, F, G, H lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD với các cạnh AB, BC, CD, DA.
Gọi I, J, M lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với AB, BC, AC.
Advertisements (Quảng cáo)
Gọi N, P, Q lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ACD với AC, CD, AD.
Ta có:
\(2CM = CM + CJ = AC – AM + BC – BJ = AC + BC – \left( {AI + BI} \right) = AC + BC – AB\)
(Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
Chứng minh tương tự ta có :
\(2CN = CN + CP = AC – AN + CD – DP = AC + CD – \left( {AQ + DQ} \right) = AC + CD – AD\)
(Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\left( {CM – CN} \right) = BC + AD – \left( {AB + CD} \right)\\ = BF + CF + AH + DH – AE – BE – CG – DG\\ = \left( {BF – BE} \right) + \left( {CF – CG} \right) + \left( {AH – AE} \right) + \left( {DH – DG} \right)\\ = 0\end{array}\)
(Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
\( \Rightarrow CM = CN \Rightarrow M \equiv N\).
Vậy hai đường trònnội tiếp hai tam giác ABC và ACD tiếp xúc nhau.