Bài 13 trang 103 Dạy và học Toán 9 tập 2: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn. Chứng minh hai đường tròn nội tiếp hai tam giác ABC và ACD tiếp xúc nhau....

Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn. Chứng minh hai đường tròn nội tiếp hai tam giác ABC và ACD tiếp xúc nhau.

Gọi M, N lần lượt là tiếp điểm của hai đường tròn nội tiếp hai tam giác ABC và ACD với AC.

Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau chứng minh

$\begin{array}{l}2CM = CM + CJ = AC + BC - AB\\2CN = CN + CP = AC + CD - AD\end{array}$

Xét hiệu $2\left( {CM - CN} \right)$, chứng minh $2\left( {CM - CN} \right) = 0 \Rightarrow M \equiv N$.

Gọi E, F, G, H lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD với các cạnh AB, BC, CD, DA.

Gọi I, J, M lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với AB, BC, AC.

Gọi N, P, Q lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ACD với AC, CD, AD.

Ta có:

$2CM = CM + CJ = AC - AM + BC - BJ = AC + BC - \left( {AI + BI} \right) = AC + BC - AB$

(Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

Chứng minh tương tự ta có :

$2CN = CN + CP = AC - AN + CD - DP = AC + CD - \left( {AQ + DQ} \right) = AC + CD - AD$

(Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2\left( {CM - CN} \right) = BC + AD - \left( {AB + CD} \right)\\ = BF + CF + AH + DH - AE - BE - CG - DG\\ = \left( {BF - BE} \right) + \left( {CF - CG} \right) + \left( {AH - AE} \right) + \left( {DH - DG} \right)\\ = 0\end{array}$

(Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

$\Rightarrow CM = CN \Rightarrow M \equiv N$.

Vậy hai đường trònnội tiếp hai tam giác ABC và ACD tiếp xúc nhau.