Bài 14 trang 95 Dạy và học Toán 9 tập 2: Từ một điểm M bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MB, MC. Vẽ đường kính BOD. Hai...

Từ một điểm M bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MB, MC. Vẽ đường kính BOD. Hai đường thẳng CD và MB cắt nhau tại A. Chứng minh rằng M là trung điểm của AB.

+) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau $\Rightarrow MB = MC$.

+) Chứng minh $\widehat {MAC} = \widehat {MCA} \Rightarrow \Delta MAC$ cân tại M $\Rightarrow MA = MC$.

Do $MB = MC$ (*) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên $\Delta MBC$ cân tại M $\Rightarrow \widehat {MBC} = \widehat {MCB}$  (1) (hai góc ở đáy).

Ta có: $\widehat {BCD} = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow BC \bot CD$ hay $BC \bot AD \Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại C.

$\Rightarrow \widehat {MAC} + \widehat {MBC} = {90^0}$ (2) (hai góc nhọn trong tam giác vuông phụ nhau).

Lại có: $\widehat {MCA} + \widehat {MCB} = \widehat {ACB} = {90^0}$  (3)

Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat {MCA} \Rightarrow \Delta MAC$ cân tại M $\Rightarrow MA = MC$ (**).

Từ (*) và (**) $\Rightarrow MA = MB$. Lại có $M \in AB \Rightarrow M$ là trung điểm của AB.