Bài 15 trang 140 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2: Giải các phương trình sau:...

Giải các phương trình sau:

a) ${x^2} + x - 2 = 0$

b) ${x^4} + 3{x^2} - 4 = 0$

c) $2{x^2} - 3x + 1 = 0$

d) $- 2{x^2} + 8 = 0$

e) ${x^4} - 4{x^2} - 5 = 0$

f) $2{x^4} - 5{x^2} + 2 = 0$

h) $\dfrac{{12}}{{x - 1}} - \dfrac{8}{{x + 1}} = 1$

i) $\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{3}{{6 - x}} = 2$

Phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)$có $\Delta  = {b^2} - 4ac$hoặc $\Delta ‘ = b{‘^2} - ac\,\,\left( {b = 2b’} \right)$

+) Nếu $\Delta  > 0\,\,\left( {\Delta ‘ > 0} \right)$  thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt ${x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}}$$\left( {{x_{1,2}} = \dfrac{{ - b’ \pm \sqrt {\Delta ‘} }}{a}} \right)$

+) Nếu $\Delta  = 0\,\,\left( {\Delta ‘ = 0} \right)$  thì phương trình có nghiệm kép ${x_{1,2}} = \dfrac{{ - b}}{{2a}}$$\left( {{x_{1,2}} = \dfrac{{ - b’}}{a}} \right)$.

+) Nếu $\Delta  < 0\,\,\left( {\Delta ‘ < 0} \right)$ thì phương trình vô nghiệm.

a) ${x^2} + x - 2 = 0$

Ta có: $\Delta  = {1^2} - 4.1.\left( { - 2} \right) = 9 > 0 \Rightarrow$ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ${x_1} = \dfrac{{ - 1 + 3}}{2} = 1;\,\,x = \dfrac{{ - 1 - 3}}{2} =  - 2$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {1; - 2} \right\}$.

b) ${x^4} + 3{x^2} - 4 = 0$

Đặt ${x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)$, khi đó phương trình ban đầu trở thành ${t^2} + 3t - 4 = 0$ (*) ta có:

$\Delta  = {3^2} - 4.1.\left( { - 4} \right) = 25 > 0 \Rightarrow$ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

${t_1} = \dfrac{{ - 3 + 5}}{2} = 1\,\,\left( {tm} \right);$$\,\,{t_2} = \dfrac{{ - 3 - 5}}{2} =  - 4\,\,\left( {ktm} \right)$

Với $t = 1 \Rightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x =  \pm 1$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ { \pm 1} \right\}$.

c) $2{x^2} - 3x + 1 = 0$

Ta có: $\Delta  = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.2.1 = 1 > 0 \Rightarrow$ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt${x_1} = \dfrac{{3 + 1}}{{2.2}} = 1;\,\,{x_2} = \dfrac{{3 - 1}}{{2.2}} = \dfrac{1}{2}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {1;\dfrac{1}{2}} \right\}$.

d) $- 2{x^2} + 8 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} = 8$

$\Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x =  \pm 2$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ { \pm 2} \right\}$.

e) ${x^4} - 4{x^2} - 5 = 0$

Đặt ${x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)$, khi đó phương trình ban đầu trở thành ${t^2} - 4t - 5 = 0$ (*) ta có:

$\Delta ‘ = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left( { - 5} \right) = 9 > 0 \Rightarrow$ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt $\left\{ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{2 + 3}}{1} = 5\,\,\left( {tm} \right)\\{t_2} = \dfrac{{2 - 3}}{1} =  - 1\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.$

Với $t = 5 \Rightarrow {x^2} = 5 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 5$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ { \pm \sqrt 5 } \right\}$.

f) $2{x^4} - 5{x^2} + 2 = 0$

Đặt ${x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)$, khi đó phương trình ban đầu trở thành $2{t^2} - 5t + 2 = 0$ (*) ta có:

$\Delta  = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.2.2 = 9 > 0 \Rightarrow$ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt $\left\{ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{5 + 3}}{{2.2}} = 2\,\,\left( {tm} \right)\\{t_2} = \dfrac{{5 - 3}}{{2.2}} = \dfrac{1}{2}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.$

Với $t = 2 \Rightarrow {x^2} = 2 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2$.

Với $t = \dfrac{1}{2} \Rightarrow {x^2} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ { \pm \sqrt 2 ; \pm \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right\}$.

h) $\dfrac{{12}}{{x - 1}} - \dfrac{8}{{x + 1}} = 1$

ĐK: $x \ne  \pm 1$.

$\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow \dfrac{{12\left( {x + 1} \right) - 8\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = 1\\ \Leftrightarrow 12\left( {x + 1} \right) - 8\left( {x - 1} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 12x + 12 - 8x + 8 = {x^2} - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 21 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}$

Ta có $\Delta ‘ = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left( { - 21} \right) = 25 > 0 \Rightarrow$ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{2 + 5}}{1} = 7\\{x_2} = \dfrac{{2 - 5}}{1} =  - 3\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {7; - 3} \right\}$.

i) $\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{3}{{6 - x}} = 2$

ĐK: $x \ne 2;\,\,x \ne 6$

$\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow \dfrac{{6 - x + 3\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {6 - x} \right)}} = 2\\ \Leftrightarrow 6 - x + 3\left( {x - 2} \right) = 2\left( {x - 2} \right)\left( {6 - x} \right)\\ \Leftrightarrow 6 - x + 3x - 6 =  - 2{x^2} + 16x - 24\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 14x + 24 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 12 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}$

Ta có: $\Delta  = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.1.12 = 1 > 0 \Rightarrow$ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{7 + 1}}{2} = 4\\{x_2} = \dfrac{{7 - 1}}{2} = 3\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)$

Vậy nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {3;4} \right\}$.

 Baitapsgk.com