Giải các phương trình sau:
a) \({x^2} + x - 2 = 0\)
b) \({x^4} + 3{x^2} - 4 = 0\)
c) \(2{x^2} - 3x + 1 = 0\)
d) \( - 2{x^2} + 8 = 0\)
e) \({x^4} - 4{x^2} - 5 = 0\)
f) \(2{x^4} - 5{x^2} + 2 = 0\)
h) \(\dfrac{{12}}{{x - 1}} - \dfrac{8}{{x + 1}} = 1\)
i) \(\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{3}{{6 - x}} = 2\)
Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)có \(\Delta = {b^2} - 4ac\)hoặc \(\Delta ‘ = b{‘^2} - ac\,\,\left( {b = 2b’} \right)\)
+) Nếu \(\Delta > 0\,\,\left( {\Delta ‘ > 0} \right)\) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}\)\(\left( {{x_{1,2}} = \dfrac{{ - b’ \pm \sqrt {\Delta ‘} }}{a}} \right)\)
+) Nếu \(\Delta = 0\,\,\left( {\Delta ‘ = 0} \right)\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_{1,2}} = \dfrac{{ - b}}{{2a}}\)\(\left( {{x_{1,2}} = \dfrac{{ - b’}}{a}} \right)\).
+) Nếu \(\Delta < 0\,\,\left( {\Delta ‘ < 0} \right)\) thì phương trình vô nghiệm.
a) \({x^2} + x - 2 = 0\)
Ta có: \(\Delta = {1^2} - 4.1.\left( { - 2} \right) = 9 > 0 \Rightarrow \) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = \dfrac{{ - 1 + 3}}{2} = 1;\,\,x = \dfrac{{ - 1 - 3}}{2} = - 2\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1; - 2} \right\}\).
b) \({x^4} + 3{x^2} - 4 = 0\)
Đặt \({x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), khi đó phương trình ban đầu trở thành \({t^2} + 3t - 4 = 0\) (*) ta có:
\(\Delta = {3^2} - 4.1.\left( { - 4} \right) = 25 > 0 \Rightarrow \) Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
\({t_1} = \dfrac{{ - 3 + 5}}{2} = 1\,\,\left( {tm} \right);\)\(\,\,{t_2} = \dfrac{{ - 3 - 5}}{2} = - 4\,\,\left( {ktm} \right)\)
Với \(t = 1 \Rightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { \pm 1} \right\}\).
c) \(2{x^2} - 3x + 1 = 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có: \(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.2.1 = 1 > 0 \Rightarrow \) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt\({x_1} = \dfrac{{3 + 1}}{{2.2}} = 1;\,\,{x_2} = \dfrac{{3 - 1}}{{2.2}} = \dfrac{1}{2}\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1;\dfrac{1}{2}} \right\}\).
d) \( - 2{x^2} + 8 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} = 8 \)
\(\Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { \pm 2} \right\}\).
e) \({x^4} - 4{x^2} - 5 = 0\)
Đặt \({x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), khi đó phương trình ban đầu trở thành \({t^2} - 4t - 5 = 0\) (*) ta có:
\(\Delta ‘ = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left( { - 5} \right) = 9 > 0 \Rightarrow \) Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{2 + 3}}{1} = 5\,\,\left( {tm} \right)\\{t_2} = \dfrac{{2 - 3}}{1} = - 1\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Với \(t = 5 \Rightarrow {x^2} = 5 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 5 \).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { \pm \sqrt 5 } \right\}\).
f) \(2{x^4} - 5{x^2} + 2 = 0\)
Đặt \({x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), khi đó phương trình ban đầu trở thành \(2{t^2} - 5t + 2 = 0\) (*) ta có:
\(\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.2.2 = 9 > 0 \Rightarrow \) Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{5 + 3}}{{2.2}} = 2\,\,\left( {tm} \right)\\{t_2} = \dfrac{{5 - 3}}{{2.2}} = \dfrac{1}{2}\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Với \(t = 2 \Rightarrow {x^2} = 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \).
Với \(t = \dfrac{1}{2} \Rightarrow {x^2} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { \pm \sqrt 2 ; \pm \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right\}\).
h) \(\dfrac{{12}}{{x - 1}} - \dfrac{8}{{x + 1}} = 1\)
ĐK: \(x \ne \pm 1\).
\(\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow \dfrac{{12\left( {x + 1} \right) - 8\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = 1\\ \Leftrightarrow 12\left( {x + 1} \right) - 8\left( {x - 1} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 12x + 12 - 8x + 8 = {x^2} - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 21 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Ta có \(\Delta ‘ = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left( { - 21} \right) = 25 > 0 \Rightarrow \) Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{2 + 5}}{1} = 7\\{x_2} = \dfrac{{2 - 5}}{1} = - 3\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {7; - 3} \right\}\).
i) \(\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{3}{{6 - x}} = 2\)
ĐK: \(x \ne 2;\,\,x \ne 6\)
\(\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow \dfrac{{6 - x + 3\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {6 - x} \right)}} = 2\\ \Leftrightarrow 6 - x + 3\left( {x - 2} \right) = 2\left( {x - 2} \right)\left( {6 - x} \right)\\ \Leftrightarrow 6 - x + 3x - 6 = - 2{x^2} + 16x - 24\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 14x + 24 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 12 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Ta có: \(\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.1.12 = 1 > 0 \Rightarrow \) Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{7 + 1}}{2} = 4\\{x_2} = \dfrac{{7 - 1}}{2} = 3\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {3;4} \right\}\).
Baitapsgk.com