Advertisements (Quảng cáo)
Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI, cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng :
a) Tam giác DIL là một tam giác cân.
b) Tổng \(\dfrac{1}{{D{I^2}}} + \dfrac{1}{{D{K^2}}}\) không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.
a) Chứng minh \(DI = DL\) dựa vào hai tam giác bằng nhau DAI và DCL
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác DLK vuông tại D, đường cao DC để chứng minh.
a) Xét tam giác DAI và tam giác DCL có:
DA = DC (ABCD là hình vuông); \(\widehat {ADI} = \widehat {CDL}\) (cùng phụ với \(\widehat {CDI}\)); \(\widehat {DAI} = \widehat {DCL} = {90^o}\)
\( \Rightarrow \Delta DAI = \Delta DCL\) (g.c.g) \( \Rightarrow DI = DL\) (2 cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow \) Tam giác DIL là tam giác cân tại D
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác DLK vuông tại D, đường cao DC ta có:
\(\dfrac{1}{{D{I^2}}} + \dfrac{1}{{D{K^2}}} = \dfrac{1}{{D{L^2}}} + \dfrac{1}{{D{K^2}}} = \dfrac{1}{{D{C^2}}}\) không đổi.