Bài 7 trang 142 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm thuộc nửa đường tròn và H là hình chiếu của M...

Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm thuộc nửa đường tròn và H là hình chiếu của M trên AB. Hãy xác định vị trí của M để AH + HM đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó theo R.

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki: ${\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$. Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}$.

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

${\left( {AH + HM} \right)^2} \le 2\left( {A{H^2} + H{M^2}} \right) = 2A{M^2}$

$\Rightarrow AH + HM \le AM\sqrt 2$.

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow AH = HM$, khi đó tam giác AHM vuông cân tại H.

$\Rightarrow \widehat {MAH} = {45^0} \Rightarrow \widehat {MAB} = {45^0}$.

Ta có $\widehat {AMB} = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow \Delta MAB$ vuông tại M. Mà $\widehat {MAB} = {45^0} \Rightarrow \Delta MAB$ vuông cân tại M $\Rightarrow MA = AB.\sin {45^0} = 2R.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = R\sqrt 2$.

Vậy ${\left( {AH + HM} \right)_{\max }} = AM\sqrt 2$$\,= R\sqrt 2 .\sqrt 2  = 2R$.

 Baitapsgk.com