Bài 8 trang 142 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O và một điểm D di động trên cung AC. GọiE là giao điểm...

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O và một điểm D di động trên cung AC. Gọi  E là giao điểm của AC và BD, gọi F là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:

a) $\widehat {AFB} = \widehat {ABD}$

b) Tích AE.BF không đổi.

a) Do tam giác ABC đều $\Rightarrow AB = AC \Rightarrow \,cung\,AB = cung\,AC$ (hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau).

Vì $\widehat {AFB}$ là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên

$\widehat {AFB} = \dfrac{{sd\,cung\,AB - sd\,cung\,CD}}{2}$$\,= \dfrac{{sd\,cung\,AC - sd\,cung\,CD}}{2}$$\,= \dfrac{{sd\,cung\,AD}}{2}$.

$\widehat {ABD}$ là góc nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$ chắn cung AD nên $\widehat {ABD} = \dfrac{{sd\,cung\,AD}}{2}$.

Vậy $\widehat {AFB} = \widehat {ABD}$.

b)  Xét tam giác ABD và tam giác AFB có:

$\widehat {BAF}$ chung;

$\widehat {ABD} = \widehat {AFB}\,\,\left( {cmt} \right)$

$\Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta AFB\,\,\left( {g.g} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AF}} = \dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{BD}}{{BF}}$

$\Rightarrow BF = \dfrac{{AB.BD}}{{AD}} = \dfrac{{AF.BD}}{{AB}}$

$\Rightarrow AE.BF = \dfrac{{AB.BD}}{{AD}}.\dfrac{{BE.AD}}{{BC}}$$\, = \dfrac{{AB.BD.AD}}{{BC}} = BD.AD$

$\begin{array}{l}\Delta BDF \sim \Delta ADC\end{array}$