Bài 7 trang 39 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1:Rút gọn P....

$P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \dfrac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\dfrac{{2\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 3}} - 1} \right)$.

a) Rút gọn P.

b) Tìm x để $P < \dfrac{1}{2}$.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

a) Tìm điều kiện của x  để biểu thức P xác định.

+) Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi để rút gọn biểu thức.

b) Với biểu thức đã rút gọn của P, giải bất phương trình $P < \dfrac{1}{2}.$

+) Kết hợp với điều kiện của x để kết luận.

c) Biến đổi hoặc đánh giá để tìm GTNN.

a) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x  - 3 \ne 0\\x - 9 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 9\end{array} \right..$

$\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \dfrac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\dfrac{{2\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 3}} - 1} \right)\\ = \dfrac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right) + \sqrt x \left( {\sqrt x  + 3} \right) - 3x - 3}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}:\dfrac{{2\sqrt x  - 2 - \sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}}\\ = \dfrac{{2x - 6\sqrt x  + x + 3\sqrt x  - 3x - 3}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}}\\ = \dfrac{{ - 3\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 3}}.\dfrac{1}{{\sqrt x  + 1}} =  - \dfrac{{3\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} =  - \dfrac{3}{{\sqrt x  + 3}}.\end{array}$

b) Điều kiện:$x \ge 0;\;\;x \ne 9.$

$\begin{array}{l}\;\;\;P < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow  - \dfrac{3}{{\sqrt x  + 3}} < \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{{\sqrt x  + 3}} + \dfrac{1}{2} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{6 + \sqrt x  + 3}}{{2\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x  + 9}}{{2\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} > 0\end{array}$

Ta thấy với mọi $x \ge 0$ thì $\dfrac{{\sqrt x  + 9}}{{2\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} > 0.$

Vậy với $x \ge 0,\;\;x \ne 9$ thì $P < \dfrac{1}{2}.$

c) Điều kiện:$x \ge 0;\;\;x \ne 9.$

Ta có: $P =  - \dfrac{3}{{\sqrt x  + 3}}$

$\sqrt x  \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  + 3 \ge 3 \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt x  + 3}} \le \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x  + 3}} \ge  - \dfrac{3}{3} =  - 1.$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt x  = 0 \Leftrightarrow x = 0.$

Vậy $P$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $- 1$ khi $x = 0.$