Advertisements (Quảng cáo)
\(P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 3}} – \dfrac{{3x + 3}}{{x – 9}}} \right):\left( {\dfrac{{2\sqrt x – 2}}{{\sqrt x – 3}} – 1} \right)\).
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để \(P < \dfrac{1}{2}\).
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P xác định.
+) Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi để rút gọn biểu thức.
b) Với biểu thức đã rút gọn của P, giải bất phương trình \(P < \dfrac{1}{2}.\)
+) Kết hợp với điều kiện của x để kết luận.
c) Biến đổi hoặc đánh giá để tìm GTNN.
Advertisements (Quảng cáo)
a) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x – 3 \ne 0\\x – 9 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 9\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 3}} – \dfrac{{3x + 3}}{{x – 9}}} \right):\left( {\dfrac{{2\sqrt x – 2}}{{\sqrt x – 3}} – 1} \right)\\ = \dfrac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x – 3} \right) + \sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right) – 3x – 3}}{{\left( {\sqrt x – 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}:\dfrac{{2\sqrt x – 2 – \sqrt x + 3}}{{\sqrt x – 3}}\\ = \dfrac{{2x – 6\sqrt x + x + 3\sqrt x – 3x – 3}}{{\left( {\sqrt x – 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x – 3}}{{\sqrt x + 1}}\\ = \dfrac{{ – 3\sqrt x – 3}}{{\sqrt x + 3}}.\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} = – \dfrac{{3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = – \dfrac{3}{{\sqrt x + 3}}.\end{array}\)
b) Điều kiện:\(x \ge 0;\;\;x \ne 9.\)
\(\begin{array}{l}\;\;\;P < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow – \dfrac{3}{{\sqrt x + 3}} < \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{{\sqrt x + 3}} + \dfrac{1}{2} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{6 + \sqrt x + 3}}{{2\left( {\sqrt x + 3} \right)}} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x + 9}}{{2\left( {\sqrt x + 3} \right)}} > 0\end{array}\)
Ta thấy với mọi \(x \ge 0\) thì \(\dfrac{{\sqrt x + 9}}{{2\left( {\sqrt x + 3} \right)}} > 0.\)
Vậy với \(x \ge 0,\;\;x \ne 9\) thì \(P < \dfrac{1}{2}.\)
c) Điều kiện:\(x \ge 0;\;\;x \ne 9.\)
Ta có: \(P = – \dfrac{3}{{\sqrt x + 3}}\)
\(\sqrt x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + 3 \ge 3 \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt x + 3}} \le \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{ – 3}}{{\sqrt x + 3}} \ge – \dfrac{3}{3} = – 1.\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0.\)
Vậy \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( – 1\) khi \(x = 0.\)