Bài 7 trang 74 Tài liệu dạy học Toán lớp 9 tập 1: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 53 cm. C là một điểm trên đường tròn sao cho AC = 45...

Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 53 cm. C là một điểm trên đường tròn sao cho AC = 45 cm. Gọi H là hình chiếu của C trên AB. Tính BC, AH, BH, CH và OH.

+) Sử dụng định lý về góc nội tiếp chắn nửa đường tròn để chứng minh tam giác ABC vuông tại C từ đó áp dụng định lý Pythagore và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính BC, AH, BH, CH.

+) Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác OHC vuông tại H để tính OH.

Ta có C là một điểm trên đường tròn tâm O đường kính AB

$\Rightarrow \widehat {ACB} = {90^o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại C:

$B{C^2} = A{B^2} - A{C^2}$$\,= {53^2} - {45^2} = 784$

$\Rightarrow BC = 28$ (cm)

H là hình chiếu của C trên AB $\Rightarrow CH \bot AB$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC đường cao CH:

$A{C^2} = AH.AB$

$\Rightarrow AH = \dfrac{{A{C^2}}}{{AB}} = \dfrac{{{{45}^2}}}{{53}} = \dfrac{{2025}}{{53}}$ (cm)

$BH = AB - AH = 53 - \dfrac{{2025}}{{53}}$$\, = \dfrac{{784}}{{53}}$(cm)

$C{H^2} = AH.BH = \dfrac{{2025}}{{53}}.\dfrac{{784}}{{53}}$$\,= \dfrac{{{{45}^2}{{.28}^2}}}{{{{53}^2}}}$

$\Rightarrow CH = \dfrac{{1260}}{{53}}$ (cm)

Có đường tròn tâm O đường kính AB = 53 cm $\Rightarrow$ bán kính R = $\dfrac{{53}}{2}$ cm

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác OHC vuông tại H:

$O{H^2} = O{C^2} - C{H^2}$$\,= {\left( {\dfrac{{53}}{2}} \right)^2} - \dfrac{{{{45}^2}{{.28}^2}}}{{{{53}^2}}}$

$\Rightarrow OH = \dfrac{{1241}}{{106}}$(cm)