Bài 8 trang 74 Tài liệu dạy học Toán lớp 9 tập 1: Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 15 cm, đáy nhỏ CD = 5 cm và góc A bằng...

Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 15 cm, đáy nhỏ CD = 5 cm và góc A bằng ${60^o}$.

a) Tính cạnh BC.

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính MN.

Kẻ DE và CF vuông góc với AB (E,F thuộc AB) tạo thành hình chữ nhật CDEF từ đó tính được BF. Sử dụng các hệ thức lượng giác để tính được BC và MN.

a) Tính cạnh BC.

Kẻ DE và CF vuông góc với AB (E,F thuộc AB) tạo thành hình chữ nhật CDEF có CD = 5 cm.

$\Rightarrow$ CD = EF = 5 cm

Ta có: $\Delta$ADE = $\Delta$BCF (ch-gn) $\Rightarrow$ AE = BF

Ta có: AB = AE + EF + BF hay 15 = BF + 5 + BF$\Rightarrow$ BF = 5 cm

Xét $\Delta$BCF vuông tại F, ta có:

$\cos \left( {\widehat B} \right) = \dfrac{{BF}}{{BC}}$

$\Rightarrow BC = \dfrac{{BF}}{{\cos \left( {\widehat B} \right)}} = \dfrac{5}{{\cos {{60}^o}}} = 10$(cm)

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính MN.

Xét $\Delta$ BCF vuông tại F, ta có:

$\sin \left( {\widehat B} \right) = \dfrac{{CF}}{{BC}}$

$\Rightarrow CF = BC.\sin \left( {\widehat B} \right) = 10.\sin {60^o}$$\,= 5\sqrt 3$ (cm)

Vì CDEF là hình chữ nhật nên DE = CF  mà M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD

$\Rightarrow  MN = DE = CF = 5\sqrt 3$ cm