Cho đường tròn tâm (O) có đường kính AB. M là một điểm tùy ý trên đường tròn không trùng với A và B. Vẽ MH vuông góc với AB tại H. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O), vẽ hai nửa đường tròn đường kính HA và HB có tâm lần lượt là O1 và O2. MA và MB cắt hai nửa đường tròn lần lượt tại P và Q.
a) Chứng minh MH = PQ. Tính độ dài đoạn PQ theo AH = a và BH = b.
b) Chứng minh PQ tiếp xúc với hai đường tròn (O1) và (O2).
c) Xác định vị trí điểm M sao cho MPHQ là một hình vuông.
a) Chứng minh MPHQ là hình chữ nhật. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
b) Chứng minh O1P và O2Q vuông góc với PQ.
c) Hình chữ nhật MPHQ cần thêm điều kiện MH là tia phân giác của ^PMQ sẽ trở thành hình vuông.
a) Ta có ^APH=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O1)) ⇒PH⊥AM.
^BQH=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O2)) ⇒HQ⊥BM
Advertisements (Quảng cáo)
^AMB=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))
Xét tứ giác MPHQ có: ^PMQ=^HPM=^HQM=900⇒MPHQ là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông) ⇒MH=PQ (hai đường chéo của hình chữ nhật).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABM có: MH2=AH.BH=ab⇒MH=√ab.
Mà MH=PQ(cmt)⇒PQ=√ab.
b) Gọi I là giao điểm của MH và PQ. Do MPHQ là hình chữ nhật ⇒IP=IH⇒ΔIPH cân tại I ⇒^IPH=^IHP (1).
Lại có O1P=O1H (do H, P cùng thuộc đường tròn (O1)) ⇒ΔO1PH cân tại O1⇒^O1PH=^O1HP (2)
Từ (1) và (2) ⇒^IPH+^O1PH=^IHP+^O1HP⇔^O1PI=^O1HI
Mà MH⊥AB⇒^O1HI=900⇒^O1PI=900⇒O1P⊥PQ tại P.
⇒PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O1) tại P.
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được ^O2QI=900⇒O2Q⊥PQ⇒PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O2) tại Q.
Vậy PQ tiếp xúc với hai đường tròn (O1) và (O2).
c) Hình chữ nhật MPHQ cần thêm điều kiện MH là tia phân giác của ^PMQ sẽ trở thành hình vuông.
Khi MH là phân giác của ^PMQ thì tam giác ABC có đường cao MH đồng thời là phân giác ⇒ΔAMB cân tại M (hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau).
Vậy M là điểm chính giữa cung AB.