Bài 3 trang 30 vở thực hành Toán 9 tập 2: Gọi x_1, x_2 là hai nghiệm của phương trình x^2 - 2x - 5 = 0. Không giải phương trình...

Gọi ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${x^2} - 2x - 5 = 0$. Không giải phương trình, hãy tính:

a) $x_1^3 + x_2^3$;

b) $\frac{1}{{x_1^2}} + \frac{1}{{x_2^2}}$.

a) Biến đổi $x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}$, từ đó thay ${x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}$ để tính giá trị biểu thức.

b) Biến đổi $\frac{1}{{x_1^2}} + \frac{1}{{x_2^2}} = \frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{x_1^2x_2^2}} = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}}$, từ đó thay ${x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}$ để tính giá trị biểu thức.

Áp dụng định lí Viète, ta có: ${x_1} + {x_2} = 2;{x_1}.{x_2} = - 5$.

a) Ta có:

$x_1^3 + x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) \\= \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 3{x_1}{x_2}} \right)\\ = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right] = 38$

b) Ta có:

$\frac{1}{{x_1^2}} + \frac{1}{{x_2^2}} = \frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} \\= \frac{{{2^2} - 2.\left( { - 5} \right)}}{{{{\left( { - 5} \right)}^2}}} = \frac{{14}}{{25}}$.