Câu hỏi/bài tập:
Tìm hai số u và v, biết:
a) \(u + v = 15,uv = 56\);
b) \({u^2} + {v^2} = 125,uv = 22\).
+ Hai u và v là nghiệm của phương trình \({x^2} - Sx + P = 0\) (điều kiện \({S^2} - 4P \ge 0\)).
+ Tính nghiệm của phương trình dựa vào công thức nghiệm (hoặc công thức nghiệm thu gọn).
a) Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình bận hai \({x^2} - 15x + 56 = 0\).
Ta có: \(\Delta = {\left( { - 15} \right)^2} - 4.56 = 1 > 0,\sqrt \Delta = 1\)
Suy ra phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{15 + 1}}{2} = 8;{x_2} = \frac{{15 - 1}}{2} = 7\).
Vậy \(\left( {u;v} \right) = \left( {7;8} \right)\) hoặc \(\left( {u;v} \right) = \left( {8;7} \right)\).
b) Ta có: \({\left( {u + v} \right)^2} = {u^2} + 2uv + {v^2} = 125 + 44 = 169\).
Do đó, \(u + v = 13\) hoặc \(u + v = - 13\).
Nếu \(u + v = 13\) hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 13x + 22 = 0\).
Ta lại có: \(\Delta = {\left( { - 13} \right)^2} - 4.22 = 81 > 0,\sqrt \Delta = 9\).
Suy ra phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{13 + 9}}{2} = 11;{x_2} = \frac{{13 - 9}}{2} = 2\)
Nếu \(u + v = - 13\) hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - \left( { - 13} \right)x + 22 = 0\).
Ta có: \(\Delta = {13^2} - 4.22 = 81 > 0,\sqrt \Delta = 9\).
Suy ra phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{ - 13 + 9}}{2} = - 2;{x_2} = \frac{{ - 13 - 9}}{2} = - 11\).
Vậy \(\left( {u;v} \right) \in \left\{ {\left( {11;2} \right);\left( {2;11} \right);\left( { - 2; - 11} \right);\left( { - 11; - 2} \right)} \right\}\).