Bài 4 trang 35, 36 vở thực hành Toán 9 tập 2: Cho phương trình x^2 - 11x + 30 = 0. Gọi x_1, x_2 là hai nghiệm của phương trình...

Cho phương trình ${x^2} - 11x + 30 = 0$. Gọi ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính:

a) $x_1^2 + x_2^2$;

b) $x_1^3 + x_2^3$.

Theo định lí Viète tính tổng và tích các nghiệm ${x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}$.

a) Biến đổi $x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}$, từ đó thay ${x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}$ để tính giá trị biểu thức.

b) Biến đổi $x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)$, từ đó thay ${x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}$ để tính giá trị biểu thức.

Theo định lí Viète ta có: ${x_1} + {x_2} = 11;{x_1}.{x_2} = 30$. Do đó:

a) Ta có:

$x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} \\= {11^2} - 2.30 = 61$

b)

$x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) \\= {11^3} - 3.30.11 = 341$