Advertisements (Quảng cáo)
Biện luận vị trí tương đối của hai đường thẳng sau theo tham số \(m\)
\(\begin{array}{l}{\Delta _1}:4x – my + 4 – m = 0;\\{\Delta _2}:(2m + 6)x + y – 2m – 1 = 0.\end{array}\)
\(\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ – m}\\{2m + 6}&1\end{array}} \right|\\ = 4.1 – ( – m)(2m + 6)\\ = 2{m^2} + 6m + 4 = 2(m + 1)(m + 2).\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – m}&{4 – m}\\1&{ – 2m – 1}\end{array}} \right| \\= ( – m)( – 2m – 1) – 1.(4 – m) \\= 2{m^2} + 2m – 4\\ = 2(m – 1)(m + 2).\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{4 – m}&4\\{ – 2m – 1}&{2m + 6}\end{array}} \right|\\ = (4 – m)(2m + 6) – 4( – 2m – 1)\\ = – 2{m^2} + 10m + 28\\ = – 2(m – 7)(m + 2).\end{array}\)
– Xét \(D \ne 0 \Leftrightarrow 2(m + 1)(m + 2) \ne 0\) \( \Leftrightarrow m \ne – 1\) và \(m \ne – 2\). Khi đó \({\Delta _1}, {\Delta _2}\) cắt nhau và giao điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có tọa độ
\(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{2(m – 1)(m + 2)}}{{2(m + 1)(m + 2)}} = \dfrac{{m – 1}}{{m + 1}}\\y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{ – 2(m – 7)(m + 2)}}{{2(m + 1)(m + 2)}} = \dfrac{{7 – m}}{{m + 1}}\end{array} \right.\).
– Xét \(D = 0 \Leftrightarrow 2(m + 1)(m + 2) = 0 \) \( \Leftrightarrow m = – 1\) hoặc \(m = – 2\).
Với \(m=-1\) thì \({D_x} = 2( – 2).1 = – 4 \ne 0\). Khi đó \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song.
Với \(m=-2\) thì \(D = {D_x} = {D_y} = 0\). Khi đó \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trùng nhau.