Bài 101 trang 121 SBT Hình học Nâng cao: Cho hai đường thẳng:...

Cho hai đường thẳng:

$\begin{array}{l}{\Delta _1}: (m + 1)x - 2y - m - 1 = 0\\{\Delta _2}: x + (m - 1)y - {m^2} = 0\end{array}$

a) Tìm tọa độ giao điểm của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$.

b) Tìm điều kiện của $m$ để giao điểm đó nằm trên trục $Oy.$

a) Ta có

$\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{m + 1}&{ - 2}\\1&{m - 1}\end{array}} \right| = {m^2} + 1,\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&{ - m - 1}\\{m - 1}&{ - {m^2}}\end{array}} \right| = 3{m^2} - 1,\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - m - 1}&{m + 1}\\{ - {m^2}}&1\end{array}} \right| \\= {m^3} + {m^2} - m - 1.\end{array}$

$D = {m^2} + 1 \ne 0$với mọi $m$ nên ${\Delta _1}, {\Delta _2}$ luôn cắt nhau và giao điểm $K$ của chúng có tọa độ

$\left\{ \begin{array}{l}{x_K} =  \dfrac{{{D_x}}}{D} =  \dfrac{{3{m^2} - 1}}{{{m^2} + 1}}\\{y_K} =  \dfrac{{{D_y}}}{D} =  \dfrac{{{m^3} + {m^2} - m - 1}}{{{m^2} + 1}}\end{array} \right.$

b) $K \in Oy    \Leftrightarrow    \dfrac{{3{m^2} - 1}}{{{m^2} + 1}} = 0$

$\Leftrightarrow   3{m^2} - 1 = 0   \Leftrightarrow m =  \pm  \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$.