Advertisements (Quảng cáo)
Điểm \(M\) gọi là chia đoạn thẳng \(AB\) theo tỉ số \(k \ne 1\) nếu \(\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} \).
a) Xét vị trí của điểm \(M\) đối với hai điểm \(A, B\) trong các trường hợp:
\(k \le 0;0 < k < 1;\,k > 1;\,k = – 1.\)
b) Nếu \(M\) chia đoạn thẳng \(AB\) theo tỉ số \(k\,\) ( \(k \ne 1\) và \(k \ne 0\)) thì \(M\) chia đoạn thẳng \(BA\) theo tỉ số nào?
c) Nếu \(M\) chia đoạn thẳng \(AB\) theo tỉ số \(k\,\) ( \(k \ne 1\) và \(k \ne 0\)) thì \(A\) chia đoạn thẳng \(MB\) theo tỉ số nào? \(B\) chia đoạn thẳng \(MA\) theo tỉ lệ nào?
d) Chứng minh rằng: Nếu điểm \(M\) chia đoạn thẳng \(AB\) theo tỉ số \(k \ne 1\) thì với điểm \(O\) bất kì, ta luôn có
\(\overrightarrow {OM} = \dfrac{{\overrightarrow {OA} – k\overrightarrow {OB} }}{{1 – k}}\).
a) Nếu \(k \le 0\) thì \(M\) nằm giữa \(A\) và \(B\), hoặc trùng với \(A.\)
Nếu \(0 < k < 1\) thì \(A\) nằm giữa \(M\) và \(B\).
Nếu \(k > 1\) thì \(B\) nằm giữa \(A\) và \(M\).
Nếu \(k = -1\) thì \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).
b) Theo giả thiết: \(k \ne 0\) và \(k \ne 1\) ta có
Advertisements (Quảng cáo)
\(M\) chia đoạn thẳng \(AB\) theo tỉ số \(k\, \Leftrightarrow \,\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB}\)
\(\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {MB} = \dfrac{1}{k}\overrightarrow {MA} \)
\(\Leftrightarrow \,\,M\) chia đoạn thẳng BA theo tỉ số \(\dfrac{1}{k}\).
c) M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số \(k\,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB}\)
\(\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {MA} = k(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} )\) hay \(\overrightarrow {AM} = \dfrac{k}{{k – 1}}\overrightarrow {AB} \,\, \Leftrightarrow \,\,A\) chia đoạn thẳng MB theo tỉ số \(\dfrac{k}{{k – 1}}\).
M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số
\(\begin{array}{l}k\,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} \,\,\\ \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {BA} – \overrightarrow {BM} = k\overrightarrow {MB} \,\,\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {BM} = \dfrac{1}{{1 – k}}\overrightarrow {BA} \,\end{array}\)
\( \Leftrightarrow B\) chia đoạn thẳng MA theo tỉ số \(\dfrac{1}{{1 – k}}\)
d) M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số \(k\,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} \)
\(\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OM} = k(\overrightarrow {OB} – \overrightarrow {OM} )\) (trong đó O là điểm bất kì )
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {OA} – k\overrightarrow {OB} = (1 – k)\overrightarrow {OM} \cr & \Leftrightarrow \,\overrightarrow {OM} = {{\overrightarrow {OA} – k\overrightarrow {OB} } \over {1 – k}} \cr} \)