Bài 20 trang 8 Sách bài tập Toán Nâng cao Hình 10: Từ đó bằng cách áp dụng định lí thuận và đảo của định lí Mê-nê-la-uýt ( hoặc Xê- va) ta chứng minh được câu a) (...

Cho tam giác ABC và các điểm $A_1, B_1, C_1$ lần lượt nằm trên các đường thẳng $BC, CA, AB$. Gọi $A_2, B_2, C_2$ lần lượt là các điểm đối xứng với $A_1, B_1, C_1$ qua trung điểm  của $BC, CA, AB$. Chứng minh rằng

a) Nếu ba điểm $A_1, B_1, C_1$ thẳng hàng thì ba điểm $A_2, B_2, C_2$ cũng thế;

b) Nếu ba đường thẳng $AA_1, BB_1, CC_1$ đồng quy hoặc song song thì ba đường thẳng $AA_2, BB_2, CC_2$ cũng thế.

Ta gọi $k, l, m$ là các số sao cho $\overrightarrow {{A_1}B}  = k\overrightarrow {{A_1}C};$ $\overrightarrow {{B_1}C}  = l\overrightarrow {{B_1}A};$ $\overrightarrow {{C_1}A}  = m\overrightarrow {{C_1}B}$.

Chú ý rằng ba điểm $A_1, B_1, C_1$ lần lượt là đối xứng với ba điểm $A_2, B_2, C_2$ qua trung điểm đoạn thẳng $BC, CA, AB$ nên ta có

$\overrightarrow {{A_2}C}  = k\overrightarrow {{A_2}B};$ $\overrightarrow {{B_2}A}  = l\overrightarrow {{B_2}C};$ $\overrightarrow {{C_2}B}  = m\overrightarrow {{C_2}A}$

Từ đó bằng cách áp dụng định lí thuận và đảo của định lí Mê-nê-la-uýt ( hoặc Xê- va) ta chứng minh được câu a) ( hoặc câu b)).