Bài 24 trang 9 SBT Hình học 10 Nâng cao:  ...

Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $AB’C’D’$ có chung đỉnh $A$. Chứng minh rằng

a) $\overrightarrow {BB’}  + \overrightarrow {C’C}  + \overrightarrow {DD’}  = \overrightarrow 0$;

b) Hai tam giác $BC’D$ và $B’CD’$ có cùng trọng tâm.

a) Ta có

$\eqalign{  & \,\,\,\,\,\overrightarrow {BB’}  + \overrightarrow {C’C}  + \overrightarrow {DD’}   \cr  &  = \overrightarrow {AB’}  - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AC’}  + \overrightarrow {AD’}  - \overrightarrow {AD}   \cr  &  = (\overrightarrow {AD’}  + \overrightarrow {AB’} ) - \overrightarrow {AC’}  - (\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} ) + \overrightarrow {AC}   \cr  &  = \overrightarrow {AC’}  - \overrightarrow {AC’}  - \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AC}   \cr  &  = \overrightarrow 0  \cr}$

b) Với điểm  bất kì, ta có

$\eqalign{  & \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC’}  + \overrightarrow {GD}   \cr  &  = \overrightarrow {GB’}  + \overrightarrow {B’B}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {CC’}  + \overrightarrow {GD’}  + \overrightarrow {D’D}   \cr  &  = \overrightarrow {GB’}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD’}  + (\overrightarrow {B’B}  + \overrightarrow {CC’}  + \overrightarrow {D’D} )  \cr  &  = \overrightarrow {GB’}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD’}  \cr}$

Suy ra $\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC’}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {GB’}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD’}  = \overrightarrow 0$

Vậy trọng tâm hai tam giác $BC’D$ và $B’CD’$ trùng nhau.