Bài 26 trang 9 Sách bài tập Toán Nâng cao Hình 10...

Cho điểm $O$ cố định và đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A, B$ cố định. Chứng minh rằng điểm M thuộc đường thẳng $d$ khi và chỉ khi có số $\alpha$ sao cho $\overrightarrow {OM}  = \alpha \overrightarrow {OA}  + (1 - \alpha )\overrightarrow {OB}$.

Với điều kiện nào của $\alpha$ thì $M$ thuộc đoạn thẳng $AB$?

Ta có

$\eqalign{ & \overrightarrow {OM} = \alpha \overrightarrow {OA} + (1 - \alpha )\overrightarrow {OB} \,\, \cr & \Leftrightarrow \,\,\,\overrightarrow {OM} = \alpha (\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} ) + \overrightarrow {OB} \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OB} = \alpha (\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} )\,\,\, \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {BM} = \alpha \overrightarrow {BA} \,\, \Leftrightarrow M \in d. \cr}$

Vì $\overrightarrow {BM}  = \alpha \overrightarrow {BA}$ nên $M$ thuộc đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $0 \le \alpha  \le 1$.