Cho tam giác ABCABC và trung tuyến AMAM. Một đường thẳng song song với ABAB cắt các đoạn thẳng AM,AC,BCAM,AC,BC lần lượt tại D,E,FD,E,F. Một điểm GG nằm trên cạnh ABAB sao cho FG//ACFG//AC. Chứng minh rằng hai tam giác ADEADE và BFGBFG có diện tích bằng nhau.
Ta đặt →CA=→a;→CB=→b−−→CA=→a;−−→CB=→b. →CM=→b2−−→CM=→b2. Vì E nằm trên đoạn thẳng ACAC nên có số k sao cho →CE=k→CA=k→a−−→CE=k−−→CA=k→a, với 0<k<10<k<1. Khi đó →CF=k→CB=k→b−−→CF=k−−→CB=k→b.
Điểm DD nằm trên AMAM và EFEF nên có hai số x,yx,y sao cho
→CD=x→CA+(1−x)→CM−−→CD=x−−→CA+(1−x)−−→CM
=y→CE+(1−y)→CF=y−−→CE+(1−y)−−→CF
hay x→a+1−x2→b=ky→a+k(1−y)→b.x→a+1−x2→b=ky→a+k(1−y)→b.
Advertisements (Quảng cáo)
Vì hai vec tơ →a,→b không cùng phương nên x=ky,1−x2=k(1−y). Suy ra x=2k−1, do đó →CD=(2k−1)→a+(1−k)→b.
Ta có →ED=→CD−→CE
=(2k−1)→a+(1−k)→b−k→a
=(1−k)(→b−→a)=(1−k)→AB
Chú ý rằng vì →CF=k→CB nên →AG=k→AB hay →AB+→BG=k→AB, suy ra (1−k)→AB=→GB.
Do đó ED=GB. Như vậy hai tam giác ADE và BFG có các cạnh đáy ED và GB bằng nhau, chiều cao bằng nhau (bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song) nên có diện tích bằng nhau.