Cho tam giác \(ABC\) và trung tuyến \(AM\). Một đường thẳng song song với \(AB\) cắt các đoạn thẳng \(AM, AC, BC\) lần lượt tại \(D, E, F\). Một điểm \(G\) nằm trên cạnh \(AB\) sao cho \(FG//AC\). Chứng minh rằng hai tam giác \(ADE\) và \(BFG\) có diện tích bằng nhau.
Ta đặt \(\overrightarrow {CA} = \overrightarrow a \,\,;\,\,\overrightarrow {CB} = \overrightarrow b \). \(\overrightarrow {CM} = \dfrac{{\overrightarrow b }}{2}\). Vì E nằm trên đoạn thẳng \(AC\) nên có số k sao cho \(\overrightarrow {CE} = k\overrightarrow {CA} = k\overrightarrow a \), với \(0<k<1\). Khi đó \(\overrightarrow {CF} = k\overrightarrow {CB} = k\overrightarrow b \).
Điểm \(D\) nằm trên \(AM\) và \(EF\) nên có hai số \(x, y\) sao cho
\(\overrightarrow {CD} = x\overrightarrow {CA} + (1 - x)\overrightarrow {CM}\)
\( = y\overrightarrow {CE} + (1 - y)\overrightarrow {CF} \)
hay \(x\overrightarrow a + \dfrac{{1 - x}}{2}\overrightarrow b = ky\overrightarrow a + k(1 - y)\overrightarrow b .\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vì hai vec tơ \(\overrightarrow a \\,\,\overrightarrow b \) không cùng phương nên \(x = ky\\,\,\dfrac{{1 - x}}{2} = k(1 - y)\). Suy ra \(x=2k-1\), do đó \(\overrightarrow {CD} = (2k - 1)\overrightarrow a + (1 - k)\overrightarrow b \).
Ta có \(\overrightarrow {ED} = \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {CE}\)
\(= (2k - 1)\overrightarrow a + (1 - k)\overrightarrow b - k\overrightarrow a\)
\( = (1 - k)(\overrightarrow b - \overrightarrow a ) = (1 - k)\overrightarrow {AB} \)
Chú ý rằng vì \(\overrightarrow {CF} = k\overrightarrow {CB} \) nên \(\overrightarrow {AG} = k\overrightarrow {AB} \) hay \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BG} = k\overrightarrow {AB} \), suy ra \((1 - k)\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {GB} \).
Do đó ED=GB. Như vậy hai tam giác ADE và BFG có các cạnh đáy ED và GB bằng nhau, chiều cao bằng nhau (bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song) nên có diện tích bằng nhau.