Trang chủ Lớp 10 SBT Toán 10 Nâng cao Bài 30 trang 10 SBT Hình học 10 Nâng cao:  

Bài 30 trang 10 SBT Hình học 10 Nâng cao:  ...

Bài 30 trang 10 SBT Hình học 10 Nâng cao. Đặt \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a \,;\,\,\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b \,\,;\,\,\,\overrightarrow {OD}  = k\overrightarrow a \), khi đó \(\overrightarrow {OC}  = k\overrightarrow b \) (vì. Bài 4. Tích của một vec tơ với một số.

Cho hình thang \(ABCD\) với các cạnh đáy là \(AB\) và \(CD\) (các cạnh bên không song song). Chứng minh rằng nếu cho trước một điểm \(M\) nằm giữa hai điểm hai điểm \(A, D\) thì có một điểm \(N\) nằm trên cạnh \(BC\) sao cho \(AN//MC\) và \(DN//MB.\)

 

Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường thẳng \(AD\) và \(BC\).

Đặt \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a \,;\,\,\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b \,\,;\,\,\,\overrightarrow {OD}  = k\overrightarrow a \), khi đó \(\overrightarrow {OC}  = k\overrightarrow b \) (vì \(AB//CD\)). Giả sử \(\overrightarrow {OM}  = m\overrightarrow a \). Ta xác định điểm \(N\) trên \(BC\) sao cho \(AN//CM\). Ta chứng minh rằng \(DN//BM\).

Vì \(N\) nằm trên \(BC\) nên \(\overrightarrow {ON}  = n\overrightarrow b \). Khi đó

Quảng cáo
Đang tải...

\(\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {ON}  – \overrightarrow {OA}  = n\overrightarrow b  – \overrightarrow a \)

Mặt khác \(\overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {OM}  – \overrightarrow {OC}  = m\overrightarrow a  – k\overrightarrow b \).

Vì \(AN//CM\) nên hai vec tơ \(\overrightarrow {AN} \\,\,\overrightarrow {CM} \) cùng phương, tức là \(\dfrac{n}{{ – k}} = \dfrac{{ – 1}}{m}\) hay \(n = \dfrac{k}{m}\). 

Vậy \(\overrightarrow {ON}  = \dfrac{k}{m}\overrightarrow b \). Từ đó \(\overrightarrow {DN}  = \overrightarrow {ON}  – \overrightarrow {OD}  = \dfrac{k}{m}\overrightarrow b  – k\overrightarrow a \).

Lại có \(\overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {OM}  – \overrightarrow {OB}\)

\(  = m\overrightarrow a  – \overrightarrow b\)

\(  =  – \dfrac{m}{k}\left( {\dfrac{k}{m}\overrightarrow b  – k\overrightarrow a } \right)\)

\(=  – \dfrac{m}{k}\overrightarrow {DN} \)

Vậy \(\overrightarrow {BM} \\,\,\overrightarrow {DN} \) cùng phương hay \(BM//DN.\)