Cho ba điểm A,B,C thẳng hàng, B nằm giữa A,C và đường thẳng Δ qua A.
a) Chứng minh rằng có hai đường tròn cùng đi qua B,C và cùng tiếp xúc với Δ.
b) Chứng minh rằng khi Δ quay quanh A, các đường tròn đi qua B và hai tiếp điểm của Δ với hai đường tròn ở câu a) luôn đi qua một điểm cố định khác B.
Giải
(h.49).
a) Gọi M là tiếp điểm của Δ với đường tròn (C) đi qua B và C, khi đó AM2=→AB.→AC=AB.AC không đổi. Do đó M là giao điểm của Δ và đường tròn tâm A, bán kính bằng √AB.AC.
Advertisements (Quảng cáo)
Từ đó suy ra có hai đường tròn cùng đi qua B,C và cùng tiếp với Δ.
b) Gọi M,M′ là hai tiếp điểm của Δ với hai đường tròn ở câu a) và gọiD là giao điểm (khác B) của đường thẳng BC với đường tròn (BMM′) thì
→AB.→AD=→AM.→AM′
=−AM2=−→AB.→AC.
Từ đó suy ra →AD=−→AC hay D là điểm đối xứng với C qua A, do đó D là điểm cố định. Vậy khi Δ quay quanh A, các đường tròn (BMM′) luôn đi qua điểm D cố định khác B.