Bài 40 trang 44 SBT Hình 10 nâng cao: (h.47)....

Cho tứ giác $ABCD$ có các cạnh $AB, CD$ kéo dài cắt nhau ở $E$ và các cạnh $AD, BC$ kéo dài cắt nhau ở $F.$ Chứng minh rằng các trung điểm của các đoạn $AC, BD$ và $EF$ cùng thuộc một đường thẳng (đường thẳng Gao-xơ của tứ giác ).

Giải

(h.47).

Kẻ các đường cao $CC’, DD’, FF’$ của tam giác $CDF$ và gọi $H$ là trực tâm của tam giác đó thì

$\overrightarrow {HC} .\overrightarrow {HC’}  = \overrightarrow {HD} .\overrightarrow {HD’}$

$= \overrightarrow {HF} .\overrightarrow {HF’} \,\,\,\,(*)$

Ta có trung điểm $I$ của $AC$ cũng la tâm đường tròn đường kính $AC$, đường tròn đó đi qua $C’$ (do $\widehat {AC’C} = {90^0}$).

Suy ra ${\wp _{H/(I)}} = \overrightarrow {HC} .\overrightarrow {HC’}$.

Tương tự như vậy, ${\wp _{H/(J)}} = \overrightarrow {HD} .\overrightarrow {HD’}$ ($J$ là tâm đường tròn đường kính $BD$ ).

${\wp _{H/(K)}} = \overrightarrow {HF} .\overrightarrow {HF’}$ ($K$ là tâm đường tròn đường kính $EF$ ).

Kết hợp với (*) suy ra

${\wp _{H/(I)}} = {\wp _{H/(J)}} = {\wp _{H/(K)}}$.

Nếu lấy trực tâm $H’$ của tam giác $BCE$ ta cũng sẽ có

${\wp _{H’/(I)}} = {\wp _{H’/(J)}} = {\wp _{H’/(K)}}$.

Vậy $HH’$ là trục đẳng phương của hai đường tròn $(I)$ và $(J)$, nên $HH’ \bot IJ$. $HH’$ cũng là trục đẳng phương của $(I)$ và $(K)$, nên $HH’ \bot IK$.

Từ đó ta có $I, J, K$ thẳng hàng.