Cho đường tròn \((C): {x^2} + {y^2} - 6x + 2y + 6 = 0\) và điểm \(A(1 ; 3).\)
a) Chứng minh rằng \(A\) ở ngoài đường tròn;
b) Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) kẻ từ \(A;\)
c) Gọi \(T_1, T_2\) là các tiếp điểm ở câu b), tính diện tích tam giác \(AT_1T_2\).
a) \((C)\) có tâm \(I(3 ; -1)\), bán kính \(R=2.\)
\(IA = \sqrt {{{(1 - 3)}^2} + {{(3 + 1)}^2}}\)
\( = 2\sqrt 5 > R\), suy ra \(A\) nằm ngoài \((C).\)
b) \(A\) nằm ngoài \((C)\) nên từ \(A\) ta kẻ được hai tiếp tuyến đến \((C).\)
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) có phương trình:
\(\alpha (x - 1) + \beta (y - 3) = 0 \)
Advertisements (Quảng cáo)
\( \Leftrightarrow \alpha x + \beta y - \alpha - 3\beta = 0 \) \(({\alpha ^2} + {\beta ^2} \ne 0)\).
\(\Delta \) tiếp xúc với (C)
\( \Leftrightarrow d(I ; \Delta ) = R \)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{|3\alpha - \beta - \alpha - 3\beta |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2\)
\(|\alpha - 2\beta | = \sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} \)
\( \Leftrightarrow \beta (3\beta - 4\alpha ) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\beta = 0\\\beta = \dfrac{4}{3}\alpha .\end{array} \right.\)
Với \(\beta = 0\), ta chọn \(\alpha = 1\), ta được tiếp tuyến thứ nhất : \(x-1=0.\)
Với \(\beta = \dfrac{4}{3}\alpha \), ta chọn \(\alpha = 3, \beta = 4\), ta được tiếp tuyến thứ hai: \(3x+4y-15=0.\)
c) Từ câu b), giải hệ để tìm ra tọa độ tiếp điểm \(T_1, T_2\) của các đường tiếp tuyến với \((C)\). Tính góc giữa hai đường tiếp tuyến . Từ đó tính diện tích của tam giác \(AT_1T_2\).