Bài 54 trang 108 SBT Hình 10 nâng cao: Bài 4. Đường tròn....

Cho đường tròn $(C): {x^2} + {y^2} - 6x + 2y + 6 = 0$ và điểm $A(1 ; 3).$

a) Chứng minh rằng $A$ ở ngoài đường tròn;

b) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ kẻ từ $A;$

c) Gọi $T_1, T_2$ là các tiếp điểm ở câu b), tính diện tích tam giác $AT_1T_2$.

a) $(C)$ có tâm $I(3 ; -1)$, bán kính $R=2.$

$IA = \sqrt {{{(1 - 3)}^2} + {{(3 + 1)}^2}}$

$= 2\sqrt 5    > R$, suy ra $A$ nằm ngoài $(C).$

b) $A$ nằm ngoài $(C)$ nên từ $A$ ta kẻ được hai tiếp tuyến đến $(C).$

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$ có phương trình:

$\alpha (x - 1) + \beta (y - 3) = 0$

$\Leftrightarrow    \alpha x + \beta y - \alpha  - 3\beta  = 0$     $({\alpha ^2} + {\beta ^2}   \ne 0)$.

$\Delta$ tiếp xúc với (C)

$\Leftrightarrow   d(I ; \Delta ) = R$

$\Leftrightarrow   \dfrac{{|3\alpha  - \beta  - \alpha  - 3\beta |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2$

$|\alpha  - 2\beta | = \sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}}$

$\Leftrightarrow   \beta (3\beta  - 4\alpha ) = 0     \Leftrightarrow    \left[ \begin{array}{l}\beta  = 0\\\beta  =  \dfrac{4}{3}\alpha .\end{array} \right.$

Với $\beta  = 0$, ta chọn $\alpha  = 1$, ta được tiếp tuyến thứ nhất : $x-1=0.$

Với $\beta  =  \dfrac{4}{3}\alpha$, ta chọn $\alpha  = 3, \beta  = 4$, ta được tiếp tuyến thứ hai: $3x+4y-15=0.$

c) Từ câu b), giải hệ để tìm ra tọa độ tiếp điểm $T_1, T_2$ của các đường tiếp tuyến với $(C)$. Tính góc giữa hai  đường tiếp tuyến . Từ đó tính diện tích của tam giác $AT_1T_2$.