Bài 53 trang 108 SBT Hình học 10 Nâng cao: Có hai tiếp tuyến cần tìm là :...

Cho đường tròn $(C): {x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 5 = 0$ và đường thẳng $d: 2x+y-1=0$. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của $(C)$, biết $\Delta$ song song với $d$. Tìm tọa độ tiếp điểm.

$(C)$ có tâm $I(1 ; -3)$, bán kính  $R = \sqrt {{1^2} + {3^2} - 5}  = \sqrt 5$.

$\Delta //d \Rightarrow   \Delta$ có phương trình : $2x + y + m = 0  (m \ne  - 1)$.

$\Delta$ tiếp xúc với $(C)$

$\Leftrightarrow   d(I ; \Delta ) = R  \\  \Leftrightarrow    \dfrac{{|2 - 2 + m|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 5  \\   \Leftrightarrow   |m - 1| = 5  \\  \Leftrightarrow   \left[ \begin{array}{l}m = 6\\m =  - 4.\end{array} \right.$

Có hai tiếp tuyến cần tìm là :

$\begin{array}{l}{\Delta _1}:  2x + y + 6 = 0;\\{\Delta _2}:  2x + y - 4 = 0.\end{array}$

Tọa độ tiếp điểm $M$ của ${\Delta _1}$ với $(C)$ là nghiệm của hệ

$\left\{ \begin{array}{l}2x + y + 6 = 0\\{x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 5 = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow   \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y =  - 4\end{array} \right.$. Vậy $M=(-1 ; -4).$

Tọa độ tiếp điểm N của ${\Delta _2}$ với $(C)$ là nghiệm của hệ

$\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\{x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 5 = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow   \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 2\end{array} \right.$. Vậy $N=(3 ; -2).$