Advertisements (Quảng cáo)
Cho hai đường tròn
\(({C_1}): {x^2} + {y^2} – 4x – 8y + 11 = 0 ; \)
\( ({C_1}): {x^2} + {y^2} – 2x – 2y – 2 = 0\).
a) Xét vị trí tương đối của \((C_1)\) và \((C_2)\).
b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của \((C_1)\) và \((C_2).\)
a) \((C_1)\) có tâm \(I_1(2 ; 4)\), bán kính \({R_1} = \sqrt {{2^2} + {4^2} – 11} = 3\).
\((C_2)\) có tâm \(I_2(1 ; 1)\), bán kính \({R_2} = \sqrt {{1^2} + {1^2} + 2} = 2\).
\(1 = |{R_1} – {R_2}| < {I_1}{I_2}\)
\(= \sqrt {{{(1 – 2)}^2} + {{(1 – 4)}^2}}\)
\( = \sqrt {10} < {R_1} + {R_2} = 5\).
Suy ra \((C_1)\) và \((C_2)\) cắt nhau.
b) (h.107).
Theo câu a), \((C_1)\) và \((C_2)\) cắt nhau nên chúng có hai tiếp tuyến chung. Tiếp tuyến chung \(\Delta \) có phương trình : \(\alpha x + \beta y + \gamma = 0 ({\alpha ^2} + {\beta ^2} > 0)\).
\(\Delta \) tiếp xúc với \((C_1)\) và \((C_2)\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}d({I_1} ; \Delta ) = {R_1}\\d({I_2} ; \Delta ) = {R_2}\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{|2\alpha + 4\beta + \gamma |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 3 (1)\\ \dfrac{{|\alpha + \beta + \gamma |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2 (2)\end{array} \right.\\ \Rightarrow 2|2\alpha + 4\beta + \gamma | = 3|\alpha + \beta + \gamma |\\ \Leftrightarrow 4\alpha + 8\beta + 2\gamma = \pm (3\alpha + 3\beta + 3\gamma )\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\gamma = \alpha + 5\beta \\\gamma = – \dfrac{{7\alpha + 11\beta }}{5}.\end{array} \right.\end{array}\)
Thay \(\gamma = \alpha + 5\beta \) vào (2) ta có:
\( \dfrac{{|2\alpha + 6\beta |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2\)
\( \Leftrightarrow {(\alpha + 3\beta )^2} = {a^2} + {\beta ^2} \)
\( \Leftrightarrow 2\beta (4\beta + 3\alpha ) = 0\)
\( \Leftrightarrow \beta = 0\) hoặc \(4\beta = – 3\alpha \).
Với \(\beta = 0\)( do đó \(\alpha \ne 0\)), suy ra \(\gamma = \alpha \). Ta có tiếp tuyến chung thứ nhất
\({\Delta _1}: x + 1 = 0\).
Với \(4\beta = – 3\alpha \), chọn \(\alpha = 4, \beta = – 3\), ta được \(\gamma = – 11\). Ta có tiếp tuyến chung thứ hai
\({\Delta _2}: 4x – 3y – 11 = 0\).
Thay \(\gamma = – \dfrac{{7\alpha + 11\beta }}{5}\) vào (2), ta có
\( \dfrac{{|2\alpha + 6\beta |}}{{5\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2 \)
\( \Leftrightarrow {(\alpha + 3\beta )^2} = 25({\alpha ^2} + {\beta ^2})\)
\( \Leftrightarrow 12{\alpha ^2} – 3\alpha \beta + 8{\beta ^2} = 0\), phương trìn vô nghiệm.
Vậy \((C_1)\) và \((C_2)\) có hai tiếp tuyến chung là
\(\begin{array}{l}{\Delta _1}: x + 1 = 0;\\{\Delta _2}: 4x – 3y – 11 = 0.\end{array}\)