Bài 56 trang 109 SBT Hình 10 nâng cao: Cho hai đường tròn...

Cho hai đường tròn

$({C_1}): {x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 11 = 0 ;$

$({C_1}):  {x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2 = 0$.

a) Xét vị trí tương đối của $(C_1)$ và $(C_2)$.

b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của $(C_1)$ và $(C_2).$

a) $(C_1)$ có tâm $I_1(2 ; 4)$, bán kính ${R_1} = \sqrt {{2^2} + {4^2} - 11}  = 3$.

$(C_2)$ có tâm $I_2(1 ; 1)$, bán kính ${R_2} = \sqrt {{1^2} + {1^2} + 2}  = 2$.

$1 = |{R_1} - {R_2}| < {I_1}{I_2}$

$= \sqrt {{{(1 - 2)}^2} + {{(1 - 4)}^2}}$

$= \sqrt {10}  < {R_1} + {R_2} = 5$.

Suy ra $(C_1)$ và $(C_2)$ cắt nhau.

b) (h.107).

Theo câu a), $(C_1)$ và $(C_2)$ cắt nhau nên chúng có hai tiếp tuyến chung. Tiếp tuyến chung $\Delta$ có phương trình : $\alpha x + \beta y + \gamma  = 0  ({\alpha ^2} + {\beta ^2} > 0)$.

$\Delta$ tiếp xúc với $(C_1)$ và $(C_2)$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}d({I_1} ; \Delta ) = {R_1}\\d({I_2} ; \Delta ) = {R_2}\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow    \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{|2\alpha  + 4\beta  + \gamma |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 3                      (1)\\ \dfrac{{|\alpha  + \beta  + \gamma |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2                           (2)\end{array} \right.\\ \Rightarrow    2|2\alpha  + 4\beta  + \gamma | = 3|\alpha  + \beta  + \gamma |\\ \Leftrightarrow   4\alpha  + 8\beta  + 2\gamma  =  \pm (3\alpha  + 3\beta  + 3\gamma )\\ \Leftrightarrow   \left[ \begin{array}{l}\gamma  = \alpha  + 5\beta \\\gamma  =  -  \dfrac{{7\alpha  + 11\beta }}{5}.\end{array} \right.\end{array}$

Thay $\gamma  = \alpha  + 5\beta$ vào (2) ta có:

$\dfrac{{|2\alpha  + 6\beta |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2$

$\Leftrightarrow    {(\alpha  + 3\beta )^2} = {a^2} + {\beta ^2}$

$\Leftrightarrow    2\beta (4\beta  + 3\alpha ) = 0$

$\Leftrightarrow    \beta  = 0$ hoặc $4\beta  =  - 3\alpha$.

Với $\beta  = 0$( do đó $\alpha  \ne 0$), suy ra $\gamma  = \alpha$. Ta có tiếp tuyến chung thứ nhất

${\Delta _1}:  x + 1 = 0$.

Với $4\beta  =  - 3\alpha$, chọn $\alpha  = 4, \beta  =  - 3$, ta được $\gamma  =  - 11$. Ta có tiếp tuyến chung thứ hai

${\Delta _2}:  4x - 3y - 11 = 0$.

Thay $\gamma  =  -  \dfrac{{7\alpha  + 11\beta }}{5}$ vào (2), ta có

$\dfrac{{|2\alpha  + 6\beta |}}{{5\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2$

$\Leftrightarrow   {(\alpha  + 3\beta )^2} = 25({\alpha ^2} + {\beta ^2})$

$\Leftrightarrow   12{\alpha ^2} - 3\alpha \beta  + 8{\beta ^2} = 0$, phương trìn vô nghiệm.

Vậy $(C_1)$ và $(C_2)$ có hai tiếp tuyến chung là

$\begin{array}{l}{\Delta _1}:  x + 1 = 0;\\{\Delta _2}:  4x - 3y - 11 = 0.\end{array}$