Bài 57 trang 109 SBT Hình học 10 Nâng cao: Đặt...

Cho $n$ điểm ${A_1}({x_1} ; {y_1}), {A_2}({x_2} ; {y_2}), .. {A_n}({x_n} ; {y_n})$ và $n+1$ số : $k_1, k_2,…,k_n,$ $k$ thỏa mãn ${k_1} + {k_2} + ... + {k_n} \ne 0$. Tìm tập hợp các điểm $M$ sao cho

${k_1}MA_1^2 + {k_2}MA_2^2 + ... + {k_n}MA_n^2 = k$.

Đặt $M=(x, y)$, ta có ${k_1}MA_1^2 + {k_2}MA_2^2 + ... + {k_n}MA_n^2 = k$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow   [{k_1}{(x - {x_1})^2} + {k_2}{(x - {x_2})^2}\\ + ... + {k_n}{(x - {x_n})^2}] + [{k_1}{(y - {y_1})^2} \\+ {k_2}{(y - {y_2})^2} + ... + {k_n}{(y - {y_n})^2}]\\ \Leftrightarrow   ({k_1} + {k_2} + ... + {k_n})({x^2} + {y^2}) \\- 2({k_1}{x_1} + {k_2}{x_2} + ... + {k_n}{x_n})x\\ - 2({k_1}{y_1} + {k_2}{y_2} + ... + {k_n}{y_n})y\\ + {k_1}(x_1^2 + y_1^2) + {k_2}(x_2^2 + y_2^2) \\+ ... + {k_n}(x_n^2 + y_n^2) = k.\end{array}$

Đặt

$\begin{array}{l}a =  \dfrac{{{k_1}{x_1} + {k_2}{x_2} + ... + {k_n}{x_n}}}{{{k_1} + {k_2} + ... + {k_n}}}  ;\\   b =  \dfrac{{{k_1}{y_1} + {k_2}{y_2} + ... + {k_n}{y_n}}}{{{k_1} + {k_2} + ... + {k_n}}}  ;\\c =  \dfrac{{{k_1}(x_1^2 + y_1^2) + {k_2}(x_2^2 + y_2^2) + ... + {k_n}(x_n^2 + y_n^2) - k}}{{{k_1} + {k_2} + ... + {k_n}}}.\end{array}$

Khi đó

$(1)    \Leftrightarrow   {x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$

$\Leftrightarrow    {(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {a^2} + {b^2} - c.$

-  Nếu ${a^2} + {b^2} - c > 0$ thì tập hợp các điểm $M$ là đường tròn tâm $I(a, b)$, bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c}$.

- Nếu ${a^2} + {b^2} - c = 0$ thì tập hợp các điểm $M$ là điểm $I(a, b).$

- Nếu ${a^2} + {b^2} - c < 0$ thì tập các điểm $M$ là tập rỗng.