Bài 55 trang 14 SBT Hình 10 nâng cao: Suy ra...

Cho $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Trên cạnh $AB$ lấy hai điểm $M$ và $N$ sao cho $AM=MN=NB$.

a) Chứng tỏ rằng $G$ cũng là trọng tâm tam giác $MNC$.

b) Đặt $\overrightarrow {GA}  = \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {GB}  = \overrightarrow b$. Hãy biểu thị các vec tơ sau đây qua $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$: $\overrightarrow {GC} ,\,\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {GM} ,\,\overrightarrow {CN}$.

a) Gọi $I$ là trung điểm $MN$ thì $I$ cũng là trung điểm $AB$, do đó

$\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GM}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  = 2\overrightarrow {GI} .$

Suy ra

$\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GC}$

$= \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0$.

Vậy $G$ cũng là trọng tâm của tam giác $MNC.$

b) Ta có

$\begin{array}{l}\overrightarrow {GC}  =  - \overrightarrow a  - \overrightarrow b ;\\\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {GC}  - \overrightarrow {GA}  =  - 2\overrightarrow a  - \overrightarrow b .\\\overrightarrow {GM}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AM}  \\= \overrightarrow a  + \dfrac{1}{3}(\overrightarrow b  - \overrightarrow a ) \\= \dfrac{{2\overrightarrow a  + \overrightarrow b }}{3}.\\\overrightarrow {CN}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AN} \\ = 2\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \dfrac{2}{3}(\overrightarrow b  - \overrightarrow a )\\ = \dfrac{{4\overrightarrow a  + 5\overrightarrow b }}{3}.\end{array}$