Advertisements (Quảng cáo)
Cho \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Trên cạnh \(AB\) lấy hai điểm \(M\) và \(N\) sao cho \(AM=MN=NB\).
a) Chứng tỏ rằng \(G\) cũng là trọng tâm tam giác \(MNC\).
b) Đặt \(\overrightarrow {GA} = \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {GB} = \overrightarrow b \). Hãy biểu thị các vec tơ sau đây qua \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \): \(\overrightarrow {GC} ,\,\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {GM} ,\,\overrightarrow {CN} \).
a) Gọi \(I\) là trung điểm \(MN\) thì \(I\) cũng là trung điểm \(AB\), do đó
\(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GM} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = 2\overrightarrow {GI} .\)
Suy ra
\(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GC} \)
\(= \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
Vậy \(G\) cũng là trọng tâm của tam giác \(MNC.\)
b) Ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {GC} = – \overrightarrow a – \overrightarrow b ;\\\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {GC} – \overrightarrow {GA} = – 2\overrightarrow a – \overrightarrow b .\\\overrightarrow {GM} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AM} \\= \overrightarrow a + \dfrac{1}{3}(\overrightarrow b – \overrightarrow a ) \\= \dfrac{{2\overrightarrow a + \overrightarrow b }}{3}.\\\overrightarrow {CN} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AN} \\ = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b + \dfrac{2}{3}(\overrightarrow b – \overrightarrow a )\\ = \dfrac{{4\overrightarrow a + 5\overrightarrow b }}{3}.\end{array}\)