Bài 63 trang 111 SBT Hình học 10 Nâng cao: Như vậy ...

Tìm những điểm trên elip $(E):  \dfrac{{{x^2}}}{9} + {y^2} = 1$ thỏa mãn

a) Có bán kính qua tiêu điểm trái bằng hai lần bán kính qua tiêu điểm phải.

b) Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.

c)  Nhìn hai tiêu điểm dưới góc $60^0$.

${a^2} = 9   \Rightarrow   a = 3 ;$ ${b^2} = 1   \Rightarrow   b = 1 ;$ ${c^2} = {a^2} - {b^2} = 8   \Rightarrow    c = 2\sqrt 2$.

Elip $(E)$ có các tiêu điểm: ${F_1}( - 2\sqrt 2  ; 0) ,  {F_2}(2\sqrt 2  ; 0)$.

a) Gọi $M(x ; y)  \in  (E)$ là điểm cần tìm. Khi đó:

$\begin{array}{l}M{F_1} = 2M{F_2} \\  \Leftrightarrow   a + ex = 2(a - ex)  \\ \Leftrightarrow   x =  \dfrac{a}{{3e}} =  \dfrac{{{a^2}}}{{3c}} =  \dfrac{3}{{2\sqrt 2 }}.\\M \in (E)\\    \Rightarrow   {y^2} = 1 -  \dfrac{{{x^2}}}{9}\\ = 1 -  \dfrac{9}{{9.8}} =  \dfrac{7}{8}  \\ \Rightarrow   y =  \pm  \dfrac{{\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}.\end{array}$

Có hai điểm cần tìm là $\left( { \dfrac{3}{{2\sqrt 2 }} ;  \pm  \dfrac{{\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}} \right)$.

b) Gọi $N(x ; y) \in (E)$ là điểm cần tìm. Khi đó:

$\overrightarrow {{F_1}N}  = \left( {x   + 2\sqrt 2  ; y} \right) ,$ $\overrightarrow {{F_2}N}  = \left( {x - 2\sqrt 2  ; y} \right)$.

$\begin{array}{l}\overrightarrow {{F_1}N}  \bot \overrightarrow {{F_2}N}     \Leftrightarrow   \overrightarrow {{F_1}N} .\overrightarrow {{F_2}N}  = 0 \\  \Leftrightarrow   \left( {x + 2\sqrt 2 } \right)\left( {x - 2\sqrt 2 } \right) + {y^2} = 0\\\Leftrightarrow   {x^2} - 8 + {y^2} = 0(1)\\N \in (E)   \Rightarrow   \dfrac{{{x^2}}}{9} + {y^2} = 1. (2)\end{array}$

Giải (1) và (2) ta được ${x^2} =  \dfrac{{63}}{8}$và ${y^2} =  \dfrac{1}{8}   \Rightarrow   x =  \pm  \dfrac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}$ và $y =  \pm  \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}$.

Có bốn điểm cần tìm là : $\left( { \pm  \dfrac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }} ;  \pm  \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)$.

c) Gọi $P(x ; y)  \in (E)$ là điểm cần tìm. Ta có:

$\begin{array}{l}{F_1}{F_2}^2 \\= {F_1}{P^2} + {F_2}{P^2} - 2{F_1}P.{F_2}P.\cos {60^0}\\ = {({F_1}P + {F_2}P)^2} - 2.{F_1}P.{F_2}P - 2{F_1}P.{F_2}P. \dfrac{1}{2}\\= 4{a^2} - 3{F_1}P.{F_2}P \\= 4{a^2} - 3(a + ex)(a - ex)\\ = 4{a^2} - 3({a^2} - {e^2}{x^2}) \\= {a^2} + 3{e^2}{x^2}.\end{array}$

Như vậy 

$\begin{array}{l}4{c^2} = {a^2} + 3. \dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}}{x^2} \\  \Rightarrow    {x^2} =  \dfrac{{(4{c^2} - {a^2}).{a^2}}}{{3{c^2}}}\\ =  \dfrac{{(4.8 - 9).9}}{{3.8}} =  \dfrac{{69}}{8}\\\Rightarrow   x =  \pm  \dfrac{{\sqrt {69} }}{{2\sqrt 2 }}.\\P \in (E)   \Rightarrow   {y^2} = 1 -  \dfrac{{{x^2}}}{9} \\= 1 -  \dfrac{{23}}{{24}} =  \dfrac{1}{{24}}    \Rightarrow   y =  \pm  \dfrac{1}{{2\sqrt 6 }}.\end{array}$

Có bốn điểm cần tìm với tọa độ là $\left( { \pm  \dfrac{{\sqrt {69} }}{{2\sqrt 2 }} ;  \pm  \dfrac{1}{{2\sqrt 6 }}} \right)$.