Bài 72 trang 114 SBT Hình 10 nâng cao: Bài 6. Đường hypebol....

(h.88). Cho hai đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ nằm ngoài nhau và có bán kính không bằng nhau. Chứng minh rằng tâm của các đường tròn cùng tiếp xúc ngoài hoặc cùng tiếp xúc trong với $(C_1)$ và $(C_2)$ nằm trên một hypebol với các tiêu điểm là tâm của các đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$. Tâm đối xứng của hypebol này nằm ở đâu ?

(h.114).

Kí hiệu $O_1, R_1$ là tâm và bán kính của đường tron $(C_1); O_2, R_2$ là tâm và bán kính của đường tròn $(C_2).$

Xét đường tròn thay đổi $(C)$, tâm $O$, bán kính $R$. $(C)$ tiếp xúc ngoài với $(C_1)$ tại $M$, với $(C_2)$ tại $N$. Ta có:

$|O{O_1} - O{O_2}|$

$=     |(OM + {O_1}M) - (ON + {O_2}N)|$

$=    |{O_1}M - {O_2}N|    =    |{R_1} - {R_2}|  > 0$ (do ${R_1} \ne {R_2}$).

Do đó $O$ nằm trên một hypebol có các tiêu điểm là $O_1$ và $O_2$. Tâm đối xứng của hypebol này là trung điểm của $O_1O_2$. Lập luận tương tự cho trường hợp đường tròn $(C)$ cùng tiếp xúc trong với các đường tròn $(C_1), (C_2).$