Lập phương trình chính tắc của hypebol \((H)\) biết
a) Một tiêu điểm là \((5 ; 0)\), mọt đỉnh là \((-4 ; 0);\)
b) Độ dài trục ảo bằng \(12,\) tâm sai bằng \( \dfrac{5}{4};\)
c) Một đỉnh là \((2 ; 0),\) tâm sai bằng \( \dfrac{3}{2};\)
d) Tâm sai bằng \(\sqrt 2 \), \((H)\) đi qua điểm \(A(-5 ; 3);\)
e) \((H)\) đi qua hai điểm \(P(6 ; - 1) , Q( - 8 ; 2\sqrt 2 )\).
Hypebol \((H)\) có phương trình chính tắc : \( \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 (a > 0, b > 0)\).
a) \((5 ; 0)\) là một tiêu điểm \( \Rightarrow c = 5;(-4 ; 0)\) là một đỉnh \( \Rightarrow a = 4\).
\({b^2} = {c^2} - {a^2} = 25 - 16 = 9 \).
Phương trình của \((H)\) : \( \dfrac{{{x^2}}}{{16}} - \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\).
b)
Advertisements (Quảng cáo)
\(\begin{array}{l}2b = 12 \Rightarrow b = 6 , \\ e = \dfrac{5}{4} \Leftrightarrow \dfrac{c}{a} = \dfrac{5}{4} \\\Leftrightarrow \dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{{25}}{{16}} \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{{25}}{{16 }} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2} + 36}}{{{a^2}}} = \dfrac{{25}}{{16}} \Rightarrow {a^2} = 64\end{array}\)
Vậy phương trình của \((H)\): \( \dfrac{{{x^2}}}{{64}} - \dfrac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)
c) \(a = 2 , e = \dfrac{c}{a} \Leftrightarrow \dfrac{3}{2} = \dfrac{c}{2} \Leftrightarrow c = 3\). Do đó \({b^2} = {c^2} - {a^2} = 5\).
Phương trình của \((H)\): \( \dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{{{y^2}}}{5} = 1\)
d)
\(\begin{array}{l}e = \sqrt 2 \Leftrightarrow \dfrac{c}{a} = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {c^2} = 2{a^2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 2{a^2} \\ \Leftrightarrow {a^2} = {b^{2 }}\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\A \in (H) \Rightarrow \dfrac{{25}}{{{a^2}}} - \dfrac{9}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array}\)
Từ (1) và (2) suy ra : \({a^2} = {b^2} = 16\).
Phương trình của (H): \( \dfrac{{{x^2}}}{{16}} - \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
e)
\(P2 \in (H) , Q \in (H) \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{36}}{{{a^2}}} - \dfrac{1}{{{b^2}}} = 1\\ \dfrac{{64}}{{{a^2}}} - \dfrac{8}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 32\\{b^2} = 8.\end{array} \right.\)
Phương trình của \((H)\): \( \dfrac{{{x^2}}}{{32}} - \dfrac{{{y^2}}}{8} = 1\).