Bài 74 trang 115 SBT Hình 10 nâng cao:...

Lập phương trình chính tắc của hypebol $(H)$ biết

a) Một tiêu điểm là $(5 ; 0)$, mọt đỉnh là $(-4 ; 0);$

b) Độ dài trục ảo bằng $12,$ tâm sai bằng $\dfrac{5}{4};$

c) Một đỉnh là $(2 ; 0),$ tâm sai bằng $\dfrac{3}{2};$

d) Tâm sai bằng $\sqrt 2$, $(H)$ đi qua điểm $A(-5 ; 3);$

e) $(H)$ đi qua hai điểm $P(6 ;  - 1) ,  Q( - 8 ; 2\sqrt 2 )$.

Hypebol $(H)$ có phương trình chính tắc : $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1   (a > 0, b > 0)$.

a) $(5 ; 0)$ là một tiêu điểm  $\Rightarrow c = 5;(-4 ; 0)$ là một đỉnh $\Rightarrow   a = 4$.

${b^2} = {c^2} - {a^2} = 25 - 16 = 9$.

Phương trình của $(H)$ : $\dfrac{{{x^2}}}{{16}} -  \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$.

b)

$\begin{array}{l}2b = 12   \Rightarrow   b = 6 , \\  e =  \dfrac{5}{4}    \Leftrightarrow     \dfrac{c}{a} =  \dfrac{5}{4}   \\\Leftrightarrow    \dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}} =  \dfrac{{25}}{{16}}    \Leftrightarrow     \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}}} =  \dfrac{{25}}{{16 }} \\  \Leftrightarrow     \dfrac{{{a^2} + 36}}{{{a^2}}} =  \dfrac{{25}}{{16}}    \Rightarrow    {a^2} = 64\end{array}$

Vậy phương trình của $(H)$:  $\dfrac{{{x^2}}}{{64}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{36}} = 1$

c) $a = 2 ,  e =  \dfrac{c}{a}    \Leftrightarrow  \dfrac{3}{2} =  \dfrac{c}{2}    \Leftrightarrow  c = 3$. Do đó ${b^2} = {c^2} - {a^2} = 5$.

Phương trình của $(H)$: $\dfrac{{{x^2}}}{4} -  \dfrac{{{y^2}}}{5} = 1$

d)

$\begin{array}{l}e = \sqrt 2    \Leftrightarrow    \dfrac{c}{a} = \sqrt 2 \\   \Leftrightarrow   {c^2} = 2{a^2}   \Leftrightarrow   {a^2} + {b^2} = 2{a^2}  \\  \Leftrightarrow {a^2} = {b^{2   }}\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\A \in (H)    \Rightarrow    \dfrac{{25}}{{{a^2}}} -  \dfrac{9}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array}$

Từ (1) và (2) suy ra : ${a^2} = {b^2} = 16$.

Phương trình của (H): $\dfrac{{{x^2}}}{{16}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1$.

e)

$P2 \in (H)  ,  Q \in (H)   \\ \Rightarrow    \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{36}}{{{a^2}}} -  \dfrac{1}{{{b^2}}} = 1\\ \dfrac{{64}}{{{a^2}}} -  \dfrac{8}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.    \Leftrightarrow   \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 32\\{b^2} = 8.\end{array} \right.$

Phương trình của $(H)$: $\dfrac{{{x^2}}}{{32}} -  \dfrac{{{y^2}}}{8} = 1$.