Bài 73 trang 114 Sách bài tập Toán Nâng cao Hình 10: Vẽ các hypebol có phương trình ở câu a), b) và e)....

Xác định độ dài trục thực, trục ảo; tiêu cự; tâm sai; tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh và phương trình các đường tiệm cận của mỗi hypebol có phương trình sau

a) $\dfrac{{{x^2}}}{{16}} -  \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1;$                             

b) $4{x^2} - {y^2} = 4;$

c) $16{x^2} - 25{y^2} = 400;$

d) $16{x^2} - 9{y^2} = 16;$

e) ${x^2} - {y^2} = 1;$

f) $m{x^2} - n{y^2} = 1  (m > 0, n > 0).$

Vẽ các hypebol có phương trình ở câu a), b) và e).

a) ${a^2} = 16   \Rightarrow   a = 4 ;$ ${b^2} = 4   \Rightarrow   b = 2;$ ${c^2} = {a^2} + {b^2} = 20   \Rightarrow   c = 2\sqrt 5$.

Độ dài trục thực : $2a=8.$

Độ dài trục ảo : $2b=4.$

Tiêu cự: $2c = 4\sqrt 5$, tâm sai $e =  \dfrac{c}{a} =  \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}$.

Các tiêu điểm : ${F_1}( - 2\sqrt 5  ; 0) ,  {F_2}(2\sqrt 5  ; 0)$

Các đỉnh : ${A_1}( - 4 ; 0) , {A_2}(4 ; 0)$.

Các tiệm cận :  $y =  \pm  \dfrac{b}{a}x =  \pm  \dfrac{1}{2}x$

Hypebol được vẽ như hình 115.

b), c), d), e) làm tương tự.

f) Viết lại phương trình hypebol:

$\begin{array}{l} \dfrac{{{x^2}}}{{ \dfrac{1}{m}}} =  \dfrac{{{y^2}}}{{ \dfrac{1}{n}}} = 1.\\{a^2} =  \dfrac{1}{m}    \Rightarrow   a =  \dfrac{1}{{\sqrt m }}  ,\\   {b^2} =  \dfrac{1}{n}    \Rightarrow    b =  \dfrac{1}{{\sqrt n }}.\\{c^2} = {a^2} + {b^2} =  \dfrac{1}{m} +  \dfrac{1}{n} \\  \Rightarrow   c = \sqrt { \dfrac{{m + n}}{{mn}}} .\end{array}$

Độ dài trục thức : $2a =  \dfrac{2}{{\sqrt m }}$ , độ dài trục ảo : $2b =  \dfrac{2}{{\sqrt n }}$.

Tiêu cự : $2c = 2\sqrt { \dfrac{{m + n}}{{mn}}}$.

Các tiêu điểm : ${F_1} = \left( { - \sqrt { \dfrac{{m + n}}{{mn}}}  ; 0} \right) ,$ ${F_2} = \left( {\sqrt { \dfrac{{m + n}}{{mn}}}  ; 0} \right)$.

Các đỉnh : ${A_1} = \left( { -  \dfrac{1}{{\sqrt m }} ; 0} \right) ,  {A_2} = \left( { \dfrac{1}{{\sqrt m }} ; 0} \right)$.

Các tiệm cận: $y =  \pm \sqrt { \dfrac{m}{n}} .x$.