Bài 74 trang 49 SBT Hình 10 nâng cao:  ...

Cho tam giác $ABC$. Gọi $r_a$ là bán kính đường tròn bàng tiếp góc $A$. Chứng minh rằng diện tích tam giác $ABC$ tính được theo công thức:

$S = (p - a){r_a}$.

Giải

Gọi $Q, R, P$ là các tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp $(J ; r_a)$ lần lượt với các đường thẳng $BC, CA, AB$ (h.67)  thì:

$\begin{array}{l}{S_{JAB}} = \dfrac{1}{2}.AB.JP = \dfrac{{c.{r_a}}}{2} , \\{S_{JAC}} = \dfrac{1}{2}.AC.JR = \dfrac{{b.{r_a}}}{2} ,\\{S_{JBC}} = \dfrac{1}{2}.BC.JQ = \dfrac{{a{r_a}}}{2}.\end{array}$

Ta có

$S = {S_{JAB}} + {S_{JAC}} + {S_{JBC}}$

$= \dfrac{{b + c - a}}{2}{r_a} = \dfrac{{a + b + c - 2a}}{2}{r_a}$.

Vậy $S = (p - a){r_a}$.