Bài 77 trang 115 SBT Hình học 10 Nâng cao: Bài 6. Đường hypebol....

Cho hypebol $(H):  \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm tùy ý trên $(H)$ đến hai đường tiệm cận bằng $\dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}$.

$(H)$ có hai tiệm cận là ${\Delta _1}: y =  \dfrac{b}{a}x$ hay $bx - ay = 0$;  ${\Delta _2}: y =  -  \dfrac{b}{a}x$ hay $bx + ay = 0$.

Xét $M(x ; y)  \in (H)$ thì $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, hay ${b^2}{x^2} - {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2}$. Khi đó

$d(M ; {\Delta _1}).d(M ; {\Delta _2})$

$=  \dfrac{{|bx - ay|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}. \dfrac{{|bx + ay|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

$=  \dfrac{{|{b^2}{x^2} - {a^2}{y^2}|}}{{{a^2} + {b^2}}}$

$=  \dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}$.