Câu 13 trang 240 Sách BT Đại số 10 Nâng cao: Suy ra:...

Giả xử ${x_1}$ và ${x_2}$ là các nghiệm của phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ trong đó $ac \ne 0.$ Hãy biểu diền các biểu thức sau đây qua các hệ số $a, b, c$:

a) ${x_2}{x_1}^2 + {x_1}{x_2}^2;$

b) ${x_1} - {x_2};$

c) $x_1^2 - x_2^2.$

a) ${x_2}x_1^2 + {x_1}x_2^2 = {x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) =  - \dfrac{{bc}}{{{a^2}}}$

b) Ta có $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}}  = \sqrt {\dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{{a^2}}}.}$

Suy ra:

Nếu ${x_1} - {x_2} \ge 0$ thì ${x_1} - {x_2} = \sqrt {\dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{{a^2}}}} .$

Nếu ${x_1} - {x_2} \le 0$ thì ${x_1} - {x_2} =  - \sqrt {\dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{{a^2}}}} .$

c) $x_1^2 - x_2^2 = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right)$. Sử dụng kết quả câu b):

Nếu ${x_1} - {x_2} \ge 0$ thì $x_1^2 - x_2^2 =  - \dfrac{b}{a}\sqrt {\dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{{a^2}}}} .$

Nếu ${x_1} - {x_2} \le 0$ thì $x_1^2 - x_2^2 = \dfrac{b}{a}\sqrt {\dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{{a^2}}}} .$