Giả xử \({x_1}\) và \({x_2}\) là các nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) trong đó \(ac \ne 0.\) Hãy biểu diền các biểu thức sau đây qua các hệ số \(a, b, c\):
a) \({x_2}{x_1}^2 + {x_1}{x_2}^2;\)
b) \({x_1} - {x_2};\)
c) \(x_1^2 - x_2^2.\)
a) \({x_2}x_1^2 + {x_1}x_2^2 = {x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = - \dfrac{{bc}}{{{a^2}}}\)
b) Ta có \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} = \sqrt {\dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{{a^2}}}.} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Suy ra:
Nếu \({x_1} - {x_2} \ge 0\) thì \({x_1} - {x_2} = \sqrt {\dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{{a^2}}}} .\)
Nếu \({x_1} - {x_2} \le 0\) thì \({x_1} - {x_2} = - \sqrt {\dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{{a^2}}}} .\)
c) \(x_1^2 - x_2^2 = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\). Sử dụng kết quả câu b):
Nếu \({x_1} - {x_2} \ge 0\) thì \(x_1^2 - x_2^2 = - \dfrac{b}{a}\sqrt {\dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{{a^2}}}} .\)
Nếu \({x_1} - {x_2} \le 0\) thì \(x_1^2 - x_2^2 = \dfrac{b}{a}\sqrt {\dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{{a^2}}}} .\)