Câu 16 trang 240 SBT Đại số 10 Nâng cao. b). BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM - ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO
Chứng minh bất đẳng thức sau:
a) \(\dfrac{{{a^2} + 3}}{{\sqrt {{a^2} + 2} }} > 2;\)
b) \(\dfrac{{{a^3}}}{{{a^6} + 1}} \le \dfrac{1}{2}.\)
a)
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{a^2} + 3}}{{\sqrt {{a^2} + 2} }} > 2\\ \Leftrightarrow {a^2} + 2 + 1 > 2\sqrt {{a^2} + 2} \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {{a^2} + 2} - 1} \right)^2} > 0\end{array}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Do \({a^2} + 2 \ge 2\) với mọi a nên \(\sqrt {{a^2} + 2} - 1 > 0\). Vì vậy bất đẳng thức cuối cùng đúng. Suy ra điều phải chứng minh.
b)
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{a^3}}}{{{a^6} + 1}} \le \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2{a^3} \le {a^6} + 1\\ \Leftrightarrow {\left( {{a^3} - 1} \right)^2} \ge 0\end{array}\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a = 1\).