Câu 16 trang 240 SBT Đại số 10 Nâng cao: Chứng minh bất đẳng thức sau:...

Chứng minh bất đẳng thức sau:

a) $\dfrac{{{a^2} + 3}}{{\sqrt {{a^2} + 2} }} > 2;$

b) $\dfrac{{{a^3}}}{{{a^6} + 1}} \le \dfrac{1}{2}.$

a)

$\begin{array}{l}\dfrac{{{a^2} + 3}}{{\sqrt {{a^2} + 2} }} > 2\\ \Leftrightarrow {a^2} + 2 + 1 > 2\sqrt {{a^2} + 2} \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {{a^2} + 2}  - 1} \right)^2} > 0\end{array}$

Do ${a^2} + 2 \ge 2$ với mọi a nên $\sqrt {{a^2} + 2}  - 1 > 0$. Vì vậy bất đẳng thức cuối cùng đúng. Suy ra điều phải chứng minh.

b)

$\begin{array}{l}\dfrac{{{a^3}}}{{{a^6} + 1}} \le \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2{a^3} \le {a^6} + 1\\ \Leftrightarrow {\left( {{a^3} - 1} \right)^2} \ge 0\end{array}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a = 1$.